第三章平稳时间序列模型-AR-MA-ARMA模型

1第三章平稳时间序列模型样本自相关函数（ACF）121()()ˆ()TttltllTttxxxxxx)()(),()(lttlttlxVarxVarxxCovt有偏估计在给定了121,,,tttkyyy的条件下,ty与滞后k期时间序列之间的条件相关样本偏自相关函数（PACF）复习2一个病人服用镇痛药，在时刻t服用，相当于在时刻t进入神经系统的一个输入----镇痛药，结构图如下：神经系统输入输出（响应）镇痛药精神状态tXt复习第三章平稳时间序列模型3如果此药仅在下一个时刻有效，此后无效，该系统具有一期记忆性：t1t2t复习第三章平稳时间序列模型4如果服药后四小时内有效，且药力递减，第五个小时后无效，则系统的动态性图示如下：t1t2t3t4t5t复习第三章平稳时间序列模型50l第三章平稳时间序列模型方法性工具•差分运算•延迟算子•线性差分方程预备知识60l第三章平稳时间序列模型差分运算•一阶差分•p阶差分•k步差分1tttxxx111ppptttxxxkttkxx预备知识70l第三章平稳时间序列模型预备知识80l第三章平稳时间序列模型延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B为延迟算子1,pxBxtppt预备知识9•••••0l第三章平稳时间序列模型延迟算子性质10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxB0(1)(1)nniiiniBCB)!(!!ininCin预备知识100l第三章平稳时间序列模型阶差分步差分pk0(1)(1)pppiittptiixBxCx(1)kkttktxxBx预备知识110l第三章平稳时间序列模型线性差分方程齐次线性差分方程1122()tttptpxxxxht11220tttptpxxxx预备知识120l.1tttXX单摆现象一阶自回归模型或一阶随机差分方程0，阻尼越大，单摆稳定速度越快；1，阻尼越小，单摆稳定速度越慢.1,1，单摆就能最终停下来，趋于稳定；11或，单摆无法稳定；稳定非稳定引例第三章平稳时间序列模型——AR模型130l1tttxx单摆现象011tttxx2()0(),()0,tttsEVarEst，0,stExst一阶自回归模型AR(1)第三章平稳时间序列模型——AR模型140l01122tttptptxxxx011tttxxAR(p)2t1tt01122ttttxxx第三章平稳时间序列模型——AR模型150lAR(p)平稳？AR(1)011tttExExE平稳10ttEx0101111tttxx2111210itttttiix22t=ttExE011tttxx第三章平稳时间序列模型——AR模型160l11tttxx1221()()ttVarxVarx10ttEx1()()ttVarxVarx122()1tVarx121011tttxx平稳12(1)1AR模型平稳121第三章平稳时间序列模型——AR模型170l平稳AR(1)模型的自相关函数11tttxxtlx两端乘以，取期望2111100allll201121,,01alll且当时11,0lll当时011,ll第三章平稳时间序列模型——AR模型180l拖尾截尾110.8tttxx0.8,10,2kkkk第三章平稳时间序列模型——AR模型190l110.8tttxx0.8,10,2kkkk第三章平稳时间序列模型——AR模型200l110.95tttxx0.95,10,2kkkk第三章平稳时间序列模型——AR模型210l110.95tttxx第三章平稳时间序列模型——AR模型220l110.95tttxx0.95,10,2kkkk第三章平稳时间序列模型——AR模型230l1tttxx随机游走第三章平稳时间序列模型——AR模型240l1tttxx随机游走由于序列长度而产生的误差第三章平稳时间序列模型——AR模型250lttx第三章平稳时间序列模型——AR模型260l1tttxx随机游走ttx白噪声平稳吗？平稳吗？第三章平稳时间序列模型——AR模型270l11.05tttxx第三章平稳时间序列模型——AR模型280l11.05tttxx第三章平稳时间序列模型——AR模型290lAR(2)01122ttttxxx对于平稳的AR(2)模型0112112211,2llll212(1)0lBB21210xx2120特征方程根互为倒数第三章平稳时间序列模型——AR模型300l21210xx2120211212112242422112122112224242xx特征根AR(2)平稳121,1且第三章平稳时间序列模型——AR模型310l12112122,1,1且22111}11,{12221，且对于AR(2)模型平稳域是一个三角形区域第三章平稳时间序列模型——AR模型32iiibxytttaxx11ixiytxiiytatx-.4-.2.0.2.4.6246810121421240有何现实意义？第三章平稳时间序列模型——AR模型33iiibxytttaxx11ixiytxiiytatx在经济和商业应用中，复数特征根很重要，它们会导致商业环的出现。对于经济时间序列模型来说，复数特征根经常出现。对AR(2)模型而言，若出现一对共轭复特征根，则其随机环的平均长度为)]2/([cos360211k第三章平稳时间序列模型——AR模型34例：美国的实际国民总产值（GNP）的季度增值率，时间是从1947年第二个季度到1991年的第一个季度。说明美国的实际GNP的季度增长率中存在随机商业环。这一点是合理的，因为美国经济经历了膨胀和紧缩期。随机环的平均长度大约为3年。21240.32301230.00470.350.180.14tttttrrrr11236010.83()cos[/(2)]k季度第三章平稳时间序列模型——AR模型350l第三章平稳时间序列模型——AR模型对于AR(2)模型,可以使用两种方法判断其平稳性：(1)利用模型对应的特征根12,的约束条件，即满足121,1；(2)利用模型参数12,的约束条件，满足12212,1,1。对于AR(1)模型：011tttxx来说，特征方程10，即11则平稳。AR模型平稳性判断总结对于AR(p)模型：看特征根是否全在单位圆内36平稳AR(P)模型的自相关系数总结1122kkkpkp0,1kkk2110,1221121kkkkkkAR(1)AR(2)注：AR模型自相关系数具有拖尾性，呈指数衰减第三章平稳时间序列模型——AR模型37例题：求AR(1)模型的偏自相关系数。1121211111122111111,0111111112121123213111332121111112211111110,11111111tttXXAR(1)偏自相关系数----1步截尾平稳AR(P)模型的偏自相关系数总结第三章平稳时间序列模型——AR模型38例题：求AR(2)模型的偏自相关系数。1111212221122121222212222211112111111111111211211122132112213312121111212111110,111111AR(2)偏自相关系数----2步截尾第三章平稳时间序列模型——AR模型39练习：对于AR(2)模型：120.5ttttXXX来说，其中t是均值为0，方差为0.5的白噪声序列，求AR(2)模型的自相关函数012,,和偏自相关函数(1,2,3)kkk，并求()tVarX。第三章平稳时间序列模型——AR模型40零均值平稳序列为AR(p)模型偏自相关系数p步截尾第三章平稳时间序列模型——AR模型410l2211121240ACF呈现指数衰减PACF二阶截尾1211.20.35ttttxxx平稳第三章平稳时间序列模型——AR模型420l21240ACF呈现出减幅正余弦波状PACF二阶截尾221111210.60.4ttttxxx平稳第三章平稳时间序列模型——AR模型430lACF呈现指数衰减PACF二阶截尾22111212401210.20.35ttttxxx平稳第三章平稳时间序列模型——AR模型440l221111210.2ttttxxx不平稳第三章平稳时间序列模型——AR模型450l1210.50.5ttttxxx21240平稳？第三章平稳时间序列模型——AR模型46例:设AR(2)模型：120.70.1ttttXXX，试判别tX的平稳性。121,112212,1,1第三章平稳时间序列模型——AR模型47-.2.0.2.4.6.82468101214-.8-.4.0.42468101214-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8246810121410111011110110AR(1)模型相关图总结ACFPACF第三章平稳时间序列模型——AR模型48-.4.0.42468101214-.4-.2.0.2.4.62468101214AR(2)模型相关图总结两个特征根为实根两个特征根为共轭复根图2124021240ACFPACF第三章平稳时间序列模型——AR模型49AR模型识别1、偏自相关函数的截尾性2、AIC准则3、BIC准则22()ln()ppAICpT2ln()ln()ppTBICpT第三章平稳时间序列模型——AR模型50第三章平稳时间序列模型—