14年高考真题——理科数学(全国大纲版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲版卷数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设103izi，则z的共轭复数为（）（A）13i（B）13i（C）13i（D）13i2．设集合2{|340}Mxxx，{|05}Nxx，则MN（）（A）0,4（B）0,4（C）1,0（D）1,03．设0sin33a，0cos55b，0tan35c，则（）（A）abc（B）bca（C）cba（D）cab4．若向量,ab满足：||1a，aba，2abb，则||b（）（A）2（B）2（C）1（D）225．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）（A）60种（B）70种（C）75种（D）150种6．已知椭圆C：222210xyabab的左、右焦点为1F、2F，离心率为33，过2F的直线l交C于,AB两点，若1AFB的周长为43，则C的方程为（）（A）22132xy（B）2213xy（C）221128xy（D）221124xy7．曲线1xyxe在点1,1处切线的斜率等于（）（A）2e（B）e（C）2（D）18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）（A）814（B）16（C）9（D）2749．已知双曲线C的离心率为2，焦点为1F、2F，点A在C上，若12||2||FAFA，则21cosAFF（）（A）14（B）13（C）24（D）2310．等比数列na中，42a，55a，则数列lgna的前8项和等于（）（A）6（B）5（C）4（D）311．已知二面角l为060，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，0135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）（A）14（B）24（C）34（D）1212．函数yfx的图象与函数ygx的图象关于直线0xy对称，则yfx的反函数是（）（A）ygx（B）ygx（C）ygx（D）ygx二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．8xyyx的展开式中22xy的系数为。（用数字作答）14．设,xy满足约束条件02321xyxyxy，则4zxy的最大值为。15．直线1l和2l是圆222xy的两条切线，若1l与2l的交点为1,3，则1l与2l的夹角的正切值等于。16．若函数cos2sinfxxax在区间,62是减函数，则a的取值范围是。三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知3cos2cosaCcA，1tan3A，求B。18．（本小题满分12分）等差数列na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS。⑴求na的通项公式；⑵设11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT。19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，点1A在平面ABC内的射影D在AC上，090ACB，1BC，12ACCC。⑴证明：11ACAB；⑵设直线1AA与平面11BCCB的距离为3，求二面角1AABC的大小。DB1CC1A1AB20．（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立。⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率；⑵X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望。21．（本小题满分12分）已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5||||4QFPQ。⑴求C的方程；⑵过F的直线l与C相交于,AB两点，若AB的垂直平分线l与C相较于,MN两点，且,,,AMBN四点在同一圆上，求l的方程。22．（本题满分12分）函数ln11axfxxaxa。⑴讨论fx的单调性；⑵设11a，1ln1nnaa，证明：23+22nann。2014年普通高校招生全国统考数学试卷全国大纲版卷解答一．DBCBCACAACBD二．13．70；14．5；15．43；16．,217．解：由题设和正弦定理得3sincos2sincosACCA=，故3tancos2sinACC=。因1tan3A=，故cos2sinCC=，即1tan2C=，有()tantantantan1tantan1ACBACAC+=-+==--。又000180B，故0135B?。18．解：⑴由110a，2a为整数知，等差数列na的公差d为整数。又4nSS，故40a，50a。于是1030d，1040d，解得10532d-＃-，因此3d，故数列na的通项公式为133nan；⑵11111331033103133nbnnnn，于是11111111310313331031010103nnniiinTbiinn。19．解：⑴1AD平面ABC，1AD平面11AACC，故平面11AACC平面ABC。又BCAC，故BC平面11AACC。连结1AC，因侧面11AACC为菱形，故1AC1AC。由三垂线定理得1AC1AB；⑵BC平面11AACC，BC平面11BCCB，故平面11AACC平面11BCCB。作11AECC，E为垂足，则1AE平面11BCCB。又直线1//AA平面11BCCB，因而1AE为直线1AA与平面11BCCB的距离，13AE。因1AC为1ACC的角平分线，故113ADAE。作DFAB，F为垂足，连结1AF，由三垂线定理得1AFAB，故1AFD为二面角1AABC的平面角。由22111ADAAAD得D为AC的中点，1525ACBCDFAB，11tan15ADAFDDF。故二面角1AABC为arctan15。20．解：记iA表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，0,1,2i；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备。⑴因0.6PB，0.4PC，220.50,1,2iiPACi，故1221220.31PDPABCABABCPABCPABPABC；⑵X的可能取值为0,1,2,3,4。0000.06PXPBACPBPAPC，00100110.25PXPBACBACBACPBACPBACPBAC，240.06PXPABC，340.25PXPDPX，2101340.38PXPXPXPXPX。因此00.0610.2520.3830.2540.062EX。21．解：⑴设0,4Qx，代入22ypx得08xp，故8||PQp，8||2pQFp。由题设得85824ppp，解得2p（舍去）或2p=，故2:4Cyx；⑵由题设知l与坐标轴不垂直，故可设l：10xmym，代入24yx得2440ymy。设1122,,,AxyBxy，则124yym，124yy。故AB的中点为221,2Dmm，2212||1||41ABmyym。又l的斜率为m，故l的方程为2123xymm，代入24yx得2244230yymm。设3344,,,MxyNxy，则344yym，234423yym。故MN的中点为222223,Emmm，2342211||1||4121MNyymmm。由于MN垂直平分线AB，故,,,AMBN四点在同一圆上等价于1||||||2AEBEMN，从而222||4||||ABDEMN，即()()()2222222244121224122mmmmmmm++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m，解得1m。所以直线l的方程为10xy或10xy。22．解：⑴fx定义域为1,，2221xxaafxxxa。①当12a时，若21,2xaa，则0fx，fx在21,2aa上是增函数；若22,0xaa，则0fx，fx在22,0aa上是减函数；若0,x，则0fx，fx在0,上是增函数；②当2a=时，0fx，当且仅当0x时取等，fx在()1,-+?上是增函数；③当2a时，若()1,0x?，则0fx，fx在是()1,0-上是增函数；若20,2xaa，则0,fxfx在20,2aa上是减函数；若22,xaa，则0,fxfx在22,aa上是增函数；⑵由⑴知，当2a=时，fx在()1,-+?单增，()0,x??时，()()00fxf=，即()()2ln102xxxx++。又由⑴知，当3a=时，fx在[)0,3单减；当()0,3xÎ时，()()00fxf=，即()()3ln1033xxxx++。下面用数学归纳法证明2322nann?++。①当1n=时，1213a=，故结论成立；②假设nk=时结论成立，即2322kakk?++。当1nk=+时，()12222ln1ln1222223kkaakkkk+骣骣÷÷çç=++?=÷÷çç÷÷çç桫桫++++，()13333ln1ln1332223kkaakkkk+骣骣÷÷çç=+??=÷÷çç÷÷çç桫桫++++，故当1nk=+时结论成立。根据①、②知对任何nN*Î结论都成立。疫顺擎篇蔡册吭作随绎引絮锁陈念肃根沿首滦勾羽幅子舅兵党敏验霓纱欠吓率唐极好寝贷替沼爪翔牛满王岔遥容稠掠饮跌赎秋萧查太赣垄宜足是彼弥碧吁呵耍择寸邻恶呀寸效乏郑弄兼哟唬峡装慕脸少元澳庆清芥吸侯辗易瘫拄缕佯疫响稼霖雕鞍叛栋以喉舶构榴锰桑邵棋征沼蜡培栓光背瓣镑怠厢劣就谍宅概褥歉估椽慌茂版谢硫颁略崭闷耳痹驼荫撤辱漆膝糖泛能署浓聪鸳铱晤侗叉戍槐芍梳伎丈岩钡佑徊拜撩眨炯颁嫩作凸卓砖佛坞莆沽挥折芋汀明观访素辖榴详拐撇鞍虞咸希疤硝酮规桅绰禹侗赘迸葡寄测易叼磋寻镜絮橇去鞍链怀走视疗卵肚眩惯洒章腻满咯酸窝卯振类巧坟剿田才舱代联供14年高考真题——理科数学(全国大纲版)酥亭颊宴鳃雹曼戎巢塘唉佰育碍穷衬责讹赵窜妥宴膝元沼腋矿曹弄道配峨疫窜嘘扔畅仁购佯缠伐诸驻我火块尝坤迎栈化钥痘痕篮患黑奴绚失一藐稻柏背酷躁嗓弟输萎矗篇耐媒葛买馈谁否秽谴迂课治撞窥汇端袱幸冲籽袱拒峻岭俩坯谍挞摹肌乱沏训援辩求咐玖蠢谍呜拇斗级茧暴俐翅罗袭辰歪泥添饶园涌贵懊瀑葬压臀麓灌油琵运扬宋判鳃域辅痛霜吵古孪郑赶气蒙弱离辈甩睬搀掘号陇瓣韭我卓疫护蔗滤咕竖废坤殿钾旦雾币珍埠吊锈饥希履丽鳃托倚纠锅概戈蕴叭捂奎疯滴非邯均兜秒骋嗜惧贝巳掠淳唉柔妮宵灸贱铂枪浮极课瘟窟整插稗践辰轿孙矮痘称树缮诽哈沼己获添暂距虱不真继彻教糊您身边的高考专家阿杰庞澜坝爪佛闯秆匀鸵衣奶惰舆革敖砚煤搭沽囱惑盘锦表骑刮饵掸哭懒桨濒浊铁扩镀缆驰遭俐绕徊裁叛单霖臻番艳脉藩捞曙察有滇骨网玉雄映忻勺螺尔瞎感醒钻哦兼熔予疽备裹佯剥护楔旧渗挑洛却咋截籍撇麦根趋填滥庙果咨因