第60讲-估计量的有效性与一致性

§7.3估计量的评选标准百度传课估计量的无偏性容易验证：四川大学徐小湛但是有些参数可能没有无偏估计量，有些参数又可以有多个无偏估计量，因此估计量的优劣还要结合其他标准来综合判断，如有效性、一致性等等。百度传课（二）有效性Efficiency都是参数θ的无偏估计量百，度传课如果在样本容量n相同的情况下，设和θ附近，则我们就认为前者比后者更理想，即我们认为θ的估计量在θ附近的波动越小越好。的观察值更密集在真值的观察值比由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度（此时，），所以我们认为无偏估计量的方差越小越好。它是最有效的估计量。则称为θ的最小方差无偏估计量，Minimum-varianceunbiasedestimator四川大学徐小湛如果是θ的方差最小的无偏估计量，例2设总体X有E(X)=μ,X1,X2,X3为来自总体X的样本，12325ˆ1X1X3X1012333X1X1X1X3都是μ的无偏估计试比较它们谁更有效。百度传课四川大学徐小湛1232510ˆ1X1X3X1231百度传课1333XXX1X解看谁的方差更小113D()D(XXX)2152103222113[()()()]2510381003D(X)D(X)D()X比更有效百度传课我们有一个一般的结论：命题2设X1,X2,…,Xn是总体X的样本，且D(X)存在，的μ的无偏估计量中,以样本均值ni1则在一切形如ˆciXi1niXnXi1ni1(其中ci1)最有效。度传课ni1ciXiiXXni11百n欲证：D(X)D()ni1(其中ci1)D(X)nD(X)ni1D()D(2niicciXi)i12nici1D(X)D(X)只需说明：21nicni12nic1n或这可由柯西-施瓦茨不等式得出：222(nnniiiixyi1i1xy)i1i1xi1,yici四川大学徐小湛百度传课（三）一致性（相合性）Consistency百度传课由于估计量不但与样本的值有关，还与样本的容量n有关。因此对估计量的一个合理的要求就是：不管样本值是什么，当样本的容量n增加时，估计量与θ的真值的误差应该越来越小，且逐步趋于零。一致性（相合性）。四川大学徐小湛因此，我们给出选择估计量的另一个标准：无偏性要求偏差的平均值（系统误差）为0：有效性进一步要求误差的平方的平均值尽可能小：越小越好一致性要求随着n增大偏差依概率趋于0：偏差：三个标准的比较设是参数θ百度传课的估计量上一讲例1，我们指出样本k阶矩Ak是总体k阶矩μk的无偏估计量，因为又(k1,2,...)教材137页所以，样本k阶矩Ak是总体k阶矩μk的无偏一致估计量。特别地，样本均值XA1是总体均值μ=E(X)的无偏一致估计量。四川大学徐小湛E(Ak)(k1,2,...)百度传课进而，若有待估参数的一致估计量。是其中g是连续函数，则θ的矩估计量可得g(A,...,A)P1k教材120页这是因为，由(k1,2,...)是θ的一致估计量。若有待估参数其中g是连续函数，则θ的矩估计量例如，总体方差2Bnin1(XX)2i1的矩估计量是σ2的一致估计量，但不是方差σ2的无偏估计量！S2是σ2的无偏估计量四川大学徐小湛百度传课例如，总体方差的矩估计量2Bnini11(XX)2是σ2的一致估计量，但不是方差的无偏估计量！S2是无偏估计量由BAA2221P得2nS2Bn1PS2是总体方差σ2的无偏一致估计量