2020中考数学难点突破《和函数相关的图形面积问题》

2020中考数学难点突破《和函数相关的图形面积问题》1.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．第1题图解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，∴--502555=0abab=1=4ab，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5；(2)∵OB＝OC＝5，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，∴以B、C、D三点为顶点的三角形要与△ABC相似，必须要有一个角等于45°.(ⅰ)当点D在点C的下方时，∠BCD＝180°－45°＝135°，∴不会出现45°角，∴此种情况不存在；(ⅱ)当点D在点C的上方时，∠BCD＝45°，易得BC＝2OB＝52，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，存在两种情况：①当△BCD∽△ABC时，BCAB＝CDBC，即526＝52CD，∴CD＝253，OD＝CD－OC＝253－5＝103，∴D(0，103)；②当△DCB∽△ABC时，DCAB＝CBBC，即6CD＝5252，∴CD＝6，OD＝CD－OC＝6－5＝1，∴点D(0，1)，∴综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似；(3)令y＝－5得x2－4x－5＝－5，解得x1＝0，x2＝4，∴E(4，－5)，∴CE＝4，设H(a，a2－4a－5)，点H是在直线CE下方抛物线上的动点，∴0＜a＜4.设直线BC的表达式为y＝kx＋b，把点B(5，0)、C(0，－5)代入得5=0=5kbb，解得=1=5kb，∴直线BC的表达式为y＝x－5，则点F(a，a－5)，∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a，∵CE⊥FH，∴S四边形CHEF＝12CE×FH＝－2a2＋10a＝－2(a－52)2＋252，∵0＜a＜4，∴当a＝52时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是252，此时H(52，－354)．2.如图，抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A(0，3)，B(－1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴a－2＋c＝0c＝3，解得a＝－1c＝3，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，B(－1，0)，∴点D的坐标是(1，4)，点E的坐标是(1，0)，∴DE＝4，BE＝2，∴BD＝DE2＋BE2＝42＋22＝20＝25，∴BD的长是25；(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4.设点M的坐标为(1，M)，令－x2＋2x＋3＝0得x＝－1或3，∴点C的坐标为(3，0)，∴BC＝3－(－1)＝4，∵△MBC的面积是4，∴S△BCM＝BC×|m|2＝4×|m|2＝4，解得M＝±2，∴点M的坐标为(1，2)或(1，－2)．3.如图，抛物线y＝12x2－32x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．(1)求点A、B、C的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)令y＝0，则12x2－32x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，令x＝0，得y＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵C，D两点关于x轴对称，∴D(0，2)，设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B、D坐标代入可得4=0=2kbb，解得1=-2=2kb，∴直线BD的解析式为y＝－12x＋2；(3)存在这样的点P，使得△PBD的面积最大．设P(m，12m2－32m－2)，如解图，过点P作PE⊥x轴于点F，与BD交于点E，第3题解图则E点坐标为(m，－12m＋2)，∴PE＝(－12m＋2)－(12m2－32m－2)＝－12m2＋m＋4，∴S△PBD＝S△PDE＋S△PEB＝12PE·OF＋12PE·BF＝12PE·OB＝12×(－12m2＋m＋4)×4＝－m2＋2m＋8＝－(m－1)2＋9，当m＝1时，S△PBD取得最大值，最大值为9，此时12m2－32m－2＝－3，∴P(1，－3)．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(－3，0)．(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时△CPB的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P的坐标．第4题图解：(1)根据题意将B(－3，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，得c＝39a－6a＋c＝0，解得a＝－1c＝3，∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，将其化为顶点式为y＝－(x＋1)2＋4，∴顶点D的坐标为(－1，4)；（2）如解图①，连接OD、AD、AD与y轴交于点F，第4题解图①S△OBD＝12×3×4＝6，S四边形ACDB＝S△ABD＋S△CDF＋S△ACF＝12×4×4＋12×1×1＋12×1×1＋12×1×1＝9，因此直线OM必过线段BD，由B(－3，0)，D(－1，4)得线段BD的解析式为y＝2x＋6，设直线OM与线段BD交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当S△OBE＝3时，12×3×yE＝3，解得yE＝2，将y＝2代入y＝2x＋6中，得x＝－2，∴E点坐标(－2，2)．则直线OE的解析式为y＝－x.设M点坐标为(x，－x)，联立抛物线的解析式可得－x＝－x2－2x＋3，解得x1＝－1－132，x2＝－1＋132(舍去)．∴点M(－1－132，1＋132)；②当S△OBE＝6时，12×3×yE＝6，解得yE＝4，将y＝4代入y＝2x＋6中得x＝－1，此时点E、M、D三点重合．∴点M坐标为(－1，4)；综上所述，点M的坐标为(－1－132，－1＋132)，(－1，4)．（3）如解图②，连接OP，设P点的坐标为(M，－M2－2M＋3)，第4题解图②∵点P在抛物线上，∴S△CPB＝S△CPO＋S△OPB－S△COB＝12OC·(－M)＋12OB·(－M2－2M＋3)－12OC·OB＝－32M＋32(－M2－2M＋3)－92＝－32(M2＋3M)＝－32(M＋32)2＋278.∵－3＜M＜0，∴当M＝－32时，(－M2－2M＋3)＝154，△CPB的面积有最大值278.∴当点P的坐标为(－32，154)时，△CPB的面积有最大值，且最大值为278.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－14x2＋Bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．第5题图解：(1)∵二次函数y＝－14x2＋Bx＋C过A(0，8)、B(－4，0)两点，∴－14×（－4）2－4b＋c＝0c＝8，解得b＝1c＝8，∴二次函数的解析式为y＝－14x2＋x＋8，当y＝0时，解得x1＝－4，x2＝8，∴C点坐标为(8，0)；（2）①如解图，连接DF，OF，设F(M，－14M2＋M＋8)，第5题解图∵S四边形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF，∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，＝12×4×M＋12×8×(－14M2＋M＋8)－12×8×4＝2M－M2＋4M＋32－16＝－M2＋6M＋16＝－(M－3)2＋25，当M＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S四边形CDEF＝2S△CDF＝50，∴S的最大值为50；②S＝18.【解法提示】∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD＝EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M－8，－14M2＋M＋12)，∵E(M－8，－14M2＋M＋12)在抛物线上，∴－14(M－8)2＋(M－8)＋8＝－14M2＋M＋12，解得M＝7，当M＝7时，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，∴此时S＝2S△CDF＝18.6.如图，抛物线y＝Ax2＋Bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴L为直线x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．第6题图(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴L上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出此时点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝x2＋2x－3；【解法提示】∵A(1，0)，对称轴L为直线x＝－1，∴B(－3，0)，将AB两点坐标代入得，∴a＋b－3＝09a－3b－3＝0，解得a＝1b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP，过点B作BN⊥PB交直线L于点N，设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，第6题解图①∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°.∴∠BPM＝∠NBQ.又∵PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ.∴PM＝BQ.由(1)得y＝x2＋2x－3，∴Q(－1，0)，B(－3，0)∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(－1－2，－2)；（3）存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，第6题解图②∵A(1，0)，B(－3，0)，C(0，－3)，∴S△ABC＝12×3×4＝6，直线BC的解析式为y＝－x－3.设P(T，T2＋2T－3)，则D(T，－T－3)，∴S△BPC＝12×3×(－T－3－T2－2T＋3)＝－32T2－92T，∴S四边形PBAC＝－32T2－92T＋6＝－32(T＋32)2＋758，当T＝－32时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为758.此时点P的坐标为(－32，－154)．7.如图，抛物线y＝－12x2＋32x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(－3，0)，连接BC、AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点E从点B出发，沿x轴向点A运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线L平行于AC，交BC于点D，设BE的长为M，△BDE的面积为S，求S关于M的函数关系式，并写出自变量M的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．第7题图解：(1)∵抛物线y＝－12x2＋32x＋