1.1.2.基本不等式

第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2.基本不等式2知识回顾2020/5/3对于任意实数有ba，abba222当且仅当时，等号成立ba适用条件取等条件abba222简单变形：1、重要不等式：2020/5/3定理1：3概括规律基本不等式：对于任意正实数有ba，当且仅当时，等号成立ba适用条件取等条件abba2几何平均算术平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均2020/5/3定理2：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.4探究:基本不等式的几何意义在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.BA.CabDab∵AB是圆的直径，∴△ADB为Rt△.又AB⊥DE，∴△ACD∽△BCD，从而得到：E，CBACCD2abCD半径.2ba与圆心重合，当且仅当点C.，等号成立时即ba①半径不小于半弦②直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高几何意义：深入剖析10,0,(.=+2ababTT（）已知且为定值）求证：当且仅当ab时，ab取得最小值T；220,0,+(.=.4abSS（）已知且ab为定值）S求证：当且仅当ab时，ab取得最大值则则例1.已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[精彩点拨]观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．利用基本不等式证明不等式[自主解答]∵a0，b0，c0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．72020/5/3利用基本不等式求最值例2.设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________．[精彩点拨]由条件表示y，代入到y2xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．[自主解答]由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，∴y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14xz＋9zx＋6≥142xz·9zx＋6＝3.当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.[答案]31．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．82020/5/3练习：已知函数x、y满足x＋2y＝4，则：①xy最大值为________．②2x＋1y最小值为________．【解析】①∵x0，y0，∴x＋2y≥2x·2y.∴2x·2y≤4，∴xy≤2.②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4yx)≥14(4＋2xy·4yx)＝2.【答案】①2②2利用基本不等式求最值【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年里某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．基本不等式的实际应用(1)若计划2020年生产的化妆品正好能销售完，试将2020年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？[自主解答](1)由题意可设3－x＝kt＋1(k＞0)，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－2t＋1.当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×3－2t＋1＋3.当销售x万件时，年销售收入为150%×32×3－2t＋1＋3＋12t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y＝－t2＋98t＋352t＋1(t≥0)．(2)y＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1≤50－2t＋12×32t＋1＝50－216＝42，当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3．三个正数的算术几何平均不等式三个正数的算术­几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c33abc，当且仅当____________时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c33abc，当且仅当时，等号成立．即三个正数的算术平均它们的几何平均．≥a＝b＝c≥a＝b＝c不小于基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋annna1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．不小于≥【例1】设a，b，c为正数，求证：1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥27.[精彩点拨]根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥33abc，结合不等式的性质证明．证明简单的不等式[自主解答]∵a0，b0，c0，∴a＋b＋c≥33abc0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c20.又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c20，∴1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．利用平均不等式求最值例2．如何求y＝4x4＋x2的最小值？[提示]y＝4x4＋x2＝4x4＋x22＋x22≥334x4·x22·x22＝3，当且仅当4x4＝x22，即x＝±2时，等号成立，∴ymin＝3.其中把x2拆成x22和x22两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y＝4x4＋x2＝4x4＋x24＋34x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为4x4＝x24＝34x2时x无解，不能求出y的最小值．