数学建模规划问题的经典案例(PPT)

建立优化模型的一般步骤1.确定决策变量2.确定目标函数的表达式3.寻找约束条件例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？分析：目标是利润L；而利润是由电脑的产量x和手机的产量y决定yxL80100§2.4案例假设：1、两种产品的销量不受限制2、原材料供应不受限制约束条件：装配线1的工时限制装配线2的工时限制8042yx603yx0,0yx变量约束建立模型yxL80100max0,06038042s.t.yxyxyx模型求解：8042yx603yxcyx801001243657例2：最短路线问题的数学建模实例14151388变量否则的路通过到从01jixij模型)(1210898131012151420min6757564745363425241312总路程xxxxxxxxxxxz..ts.111312出发的一辆车考虑从节点xx;0252412xxx;047453424xxxx;0675636xxx1675747xxx;057564525xxxx;0363413xxx.7,,2,1,10ji，xij或取12436579810例3：最短路线问题算例3003501509-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路线为:1-4-6-9-10，长度：650沿该弧的运量到表示节点设jixij124365714151388变量模型例4：最小费用流问题)(1210898131012151420min6757564745363425241312总运费xxxxxxxxxxxz..ts.1312考虑从产地出发的运量Qxx;0252412xxx;047453424xxxx;0675636xxxQxxx675747;057564525xxxx;0363413xxx.7,,2,1,0ji，xij例5：最大流量问题变量。网络的最大通车量求通过该公路..1沿该弧的车流量到为从发出的车流量表示从节点用jixvij模型vmax..ts.1312vxx;0252412xxx;047453424xxxx;0675636xxxvxxx675747;057564525xxxx;0363413xxx0.v各段上的流量限制124365714151388模型vmax..ts.1312vxx;0252412xxx;047453424xxxx;0675636xxxvxxx675747;057564525xxxx;0363413xxx0.v各段上的流量限制工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮模型存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。问题1不允许缺货的存贮模型配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。问题分析若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。模型假设1连续化，即设生产周期T和产量Q均为连续量；2产品每日的需求量为常数r；3每次生产准备费C1，每日每件产品存贮费C2；4生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。模型建立总费用与变量的关系总费用=生产准备费+存贮费存贮费=存贮单价*存贮量存贮量=？设t时刻的存贮量为q(t)，t=0时生产Q件，存贮量q(0)=Q,q(t)以需求速率r线性递减，直至q(T)=0，如图。q(t)=Q-rt，Q=rT。otqQTrA不允许缺货模型的存贮量q(t)存贮量的计算一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT(A的面积)一个周期的总费用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均费用2)(21rTcTcTCTC2)(min21rTcTcTCT满足求模型求解用微分法02)(221rcTcTCrccT212212crcrTQ每天平均最小费用rccC212思考1建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费用），在什么情况下才可以不考虑它？2建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？结果解释rccT212212crcrTQrccC212当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费c2增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费r增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。rccT212rccC212100010,100,1,500021CTrcc，得当这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别，你能解释吗？在本例中敏感性分析讨论参数rcc,,21有微小变化时对生产周期T影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T对c1的敏感程度记为),(1cTS111),(ccTTcTSTcdcdT11Tcrccrc121222212121),(2cTS21),(rTS意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5%；而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5%；日需求量增加1%时，生产周期减少0.5%。21),(1cTS21),(2cTS21),(rTS当rcc,,21有微小变化对生产周期影响不太大。模型假设1连续化，即设生产周期T和产量Q均为连续量；2产品每日的需求量为常数r；3每次生产准备费C1，每日每件产品存贮费C2；4生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费C3，但缺货数量需在下次生产（订货）时补足。问题2允许缺货的存贮模型模型建立总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费存贮费=存贮单价*存贮量缺货损失费=缺货单价*缺货量存贮量=？，缺货量=？因存贮量不足造成缺货，因此q(t)可取负值，q(t)以需求速率r线性递减，直至q(T1)=0，如图。q(t)=Q-rt，Q=rT1。otqQTrA允许缺货模型的存贮量q(t)RT1B一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费dttqcT102)(212QTc一个周期的总费用rQrTcrQccC2)(223221每天平均费用dttqcTT1)(32))((13TTQrTcrQrTc2)(23rQc222rTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(23221,满足求QT模型求解用微分法令332212cccrccT323212ccccrcQ每天平均最小费用),(QTCCrTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(min232210),(,0),(QQTCTQTC每个周期的供货量TrR332212cccrccrR332ccc与不允许缺货模型相比较，有QRQQTT,/,QRQQTT,/,结果解释QRQQTT,,,1即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大，愈小，愈接近，愈接近。1）TTRQ,Q332ccc3），时，当13cQRQQTT,,不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。企业生产计划奶制品的生产与销售空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。本节课题一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，一桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8个小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部都能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天之多能加工100公斤A1，乙类设备没有加工能力限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一以下3个附加问题：例1加工奶制品的生产计划•35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?•可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?•A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？例1加工奶制品的生产计划1桶牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1制订生产计划，使每天获利最大•35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?•可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?•A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：1桶牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2获利24×3x1获利16×4x2原料供应5021xx劳动时间48081221xx加工能力10031x决策变量目标函数216472xxzMax每天获利约束条件非负约束0,21xx线性规划模型(LP)时间480小时至多加工100公斤A150桶牛奶每天模型分析与假设比例性可加性连续性xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数线性规划模型模型求解图解法x1x20ABCDl1l2l3l4l55021xx48081221xx10031x0,21xx约束条件50:211xxl480812:212xxl1003:13xl0:,0:2514xlxl216472xxzMax目标函数Z=0Z=24