实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章-复习指导

1主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(xf在E上可积当且仅当)(xf在E上可积()(xf在E上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(xf在E上可积，则对任意0，存在0，使当Ee且em时，恒有exxfd)((3)勒贝格积分的唯一性．即0d)(Exxf的充要条件是..0)(eaxf于E．由此可知，若)(xf与)(xg几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(xf是可积函数，对任意0，存在],[ba上的连续函数)(x，使],[d)()(baxxxf此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中列维渐升函数列积分定理(定理5.4.1)，勒贝格控制收敛定理(定理5.4.2)，和法都定理(定理5.4.3)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[ba上的有界函数)(xf黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．2值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(yxf在qpRR上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．复习题（一）一、判断题1、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，则()dEfxx一定存在。（√）2、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，则()fx在E上勒贝格可积。（×）3、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，且0()dEfxx，则()fx在E上勒贝格可积。（√）4、设()fx是可测集nER上的非负可测函数，则()dEfxx一定存在。（√）5、设()fx是可测集nER上的非负可测函数，则()fx在E上勒贝格可积。（×）6、设()fx是可测集nER上的非负简单函数，且0()dEfxx，则()fx在E上勒贝格可积。（√）7、设()fx是可测集nER上的可测函数，则()dEfxx一定存在。（×）8、设()fx是可测集nER上的可测函数，且()()fxLE，()()fxLE至少有一个成立，则()dEfxx一定存在。（√）9、设()fx是可测集nER上的可测函数，且()()fxLE，()()fxLE至少有一个成立，则()fx在E上勒贝格可积。（×）10、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxLE且()()fxLE，则()fx在E上勒贝格可积。（√）11、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxLE，则()dEfxx。（√）12、设()fx是可测集nER上的可测函数，若()()fxgx且()()gxLE，则3()()fxLE。（√）13、若E为零测集，()fx为E上的任何实函数，则()()fxLE。（√）14、若()()fxLE，则[]0mEf。（√）15、若()()fxLE，则()()fxLE。（√）16、若()()fxLE，则()()fxLE。（√）17、若()()fxLE，1E为E的可测子集，则1()()fxLE。（√）18、()fx在E上勒贝格积分值存在()()fxLE。（×）19、若()()fxLE，且()0fx，()d0Efxx，则()0fx..ae于E。（√）20、若()fx在[,]ab上R可积，则若()fx在[,]ab上L可积，且[,]()()d()()dbabaLfxxRfxx。（√）21、若()()fxLE，()()gxLE，且()()fxgx..ae于E，则()d()dEEfxxgxx。（√）22、若()()fxLE，()d0Efxx，则()0fx..ae于E。（×）23、若()d()dEEfxxgxx，则()()fxgx..ae于E。（×）24、若()dEfxx与()dEgxx存在，且()()fxgx，则()d()dEEfxxgxx。（√）25、若()dEfxx存在，nE是E的可测子集，且lim0nnmE，则lim()d0nEnfxx。（×）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（×）二、计算题1、设0,[01]()1,[01]xDxx为，中的无理点为，中的有理点，求[0,1]()dDxx。解：因为有理数集为零测集，所以，()0Dx..ae于[0,1]，于是[0,1][0,1]()d0d0Dxxx。42、设23,(),[0,1]\xxPfxxxP，其中P为[01]，中的三分康托集，求[0,1]()dfxx。解：因为0mP，所以，3()fxx..ae于[0,1]，于是3[0,1][0,1]1()dd4fxxxx。三、证明题1、设()fx是可测集E上的可测函数，且()()fxgx，()()gxLE，则()()fxLE。证明：由题设及不等式性，有()d()dEEfxxgxx。所以，()()fxLE，从而()()fxLE。2、2()()fxLE，2()()gxLE。则()()()fxgxLE，且221()()d[()d()d]2EEEfxgxxfxxgxx。证明：因为221()()[()()]2fxgxfxgx，而由2()()fxLE，2()()gxLE得，2222[()()]d()d()dEEEfxgxxfxxgxx，即221[()()]()2fxgxLE。所以，()()()fxgxLE。3、设()()fxLE，nE是E的可测子集，且mE，若limnnmEmE，则lim()d()dnEEnfxxfxx。证明：因为nE是E的可测子集，且mE，所以，()nnmEEmEmE，从而由limnnmEmE得，lim()lim0nnnnmEEmEmE。又()()fxLE，由积分的绝对连续性，lim[()d()d]lim()d0nnEEEEnnfxxfxxfxx。4、设()()fxLE，若对任意有界可测函数()x都有()()d0Efxxx，则()0fx..ae于E。5证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]xExfxxxExfxxExfx，显然()x为E上的有界可测函数，从而()d()()d0EEfxxfxxx。所以，()0fx..ae于E，即()0fx..ae于E。5、设()()fxLE，[]neEfn，证明（1）lim0nnme；（2）lim0nnnme。证明：由()d()dnneEnmefxxfxx得，（1）lim0nnme。（2）由（1），注意到()()fxLE，由积分的绝对连续性得，lim()d0nenfxx，从而注意到0()dnnenmefxx，所以，lim0nnnme。6.证明：如果)(xf是E上的非负函数，0)(dxxfE，则eaxf..0)(于E证：若不然，0)(xf不妨令0)(xf.于是集]0)(;[xfxE1]1)(;[nnxfxE必存在某一0n使0]1)(;[0nxfxmE令]1)(;[0nxfxEe于是dxxfdxxfdxxfeEeE)()()(∵dxxfdxxfdxxfeEeeE)()()(∴0)(0ndxxfE，这与题设矛盾，所以eaxf..0)(于E7.设()nfxE上的一非负可测函数列，则11(())()nnEEnnfxdxfxdx.证明相应于每个正整数n，令1()()nniigxfx，则{()}ngx是非负可测递增列，且1()()limnnnnfxgx.据定理5.3.1，6lim()lim()nnEEnngxdxgxdx所以1(())lim()lim()nnnEEEnnnfxdxgxdxgxdx111lim()lim()()nnnnnEEEnniinfxdxfxdxfxdx.证毕.8.设qER为可测集，)}({xfn为E上的一列非负可测函数，在E上有1()()nnfxfx．令)(xf＝lim()nnfx，xE，证明：lim()nEnfxdx＝()Efxdx．证明：显然()fx在E上非负可测且1()()()nnfxfxfx，故1()()()nnEEEfxdxfxdxfxdx，因而lim()()nEEnfxdxfxdx．现证相反的不等式．任取E上的一个非负简单函数()x使得xE时0()()xfx．c：01c，令[]nnEEfc，则nE可测，nEE，1nnEE，1nnEE，且()()nnnEEfxdxfxdx()nEcxdx，故lim()(lim())()nnEEEnnfxdxcxdxcxdx．由c的任意性可得lim()()nEEnfxdxxdx．再由()x的任意性即得lim()()nEEnfxdxfxdx．∴lim()()nEEnfxdxxdx．补充证明1nnEE．1nnEE是显然的．0xE，则000()()xfx．∵01c，∴00()()cxfx．∵nZ，010()()nnfxfx，且00lim()()nnfxfx，∴0n，使得000()()nfxcx，即得001nnnxEE．由0x的任意性得1nnEE．∴1nnEE．7证明：由条件知)}({xfn为E上非负可测函数递增列，所以lim()nEnfxdx有定义，又1()(),1,2,3,nnEEfxdxfxdxn故lim()nEnfxdx有定义，且从函数列的渐升性知道，lim()()lim()nnEEEnnfxdxfxdxfxdx（1）令c满足0cx是nR上的非负可测简单函数，且xfx，{|()()}nnExEfxcx记，则{En}是递增集列，且1limnnnnEEE，()()()()()(),nnnnnnEnEEEEEfxdxfxxdxfxdxcxdxcxdxlim()()nEEncxdxcxdx，故lim()()nEEnfxdxc