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1一、有限元简介1.概况2.有限元方法历史3.有限元分析的作用1.有限元分析的目的和概念2.一维阶梯杆结构问题的求解3.有限元分析的基本流程4.有限元分析的特点目录二、有限元分析过程概要21.1概况•有限元方法(finiteelementmethod)或有限元分析(finiteelementanalysis)是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。严格来说，有限元分析必须包含三个方面：(1)有限元方法的基本数学力学原理，(2)基于原理所形成的实用软件，(3)使用时的计算机硬件。3•随着现代计算机技术的发展，一般的个人计算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本课程的重点将在以上的第(1)和第(2)方面，将通过一些典型的实例来深入浅出地系统阐述有限元分析的基本原理，并强调原理的工程背景和物理概念通过ANSYS分析平台来展示具体应用有限元方法的建模过程。41.2有限元方法的历史•有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。5•1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。•1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”(finiteelementmethod)的名称•6]；1955年德国的Argyris出版了第一本关于6•结构分析中的能量原理和矩阵方法的书[7]，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题。7•；目前，专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等；8•国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表1-2列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。910111.3有限元分析的作用•据有关资料，一个新产品的问题有60％以上可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程也需要进行精细的设计，要做到这一点，就需要类似有限元分析这样的分析手段。•下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航空工程以及生物工程的实例。12•北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图1，也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的枝蔓总重达42000吨，其中，顶盖以及周边悬空部位重量为14000吨，在施工时，采用了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；因而，支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢结构的加载，13•如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析，以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。（图1）14图2列车车厢整体结构的有限元模型15图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程16图4人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果17二、有限元分析过程的概要•本章先通过一个简单的实例，采用直接的推导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从中可以了解有限元方法的思路形成过程，以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的标准求解方法。182.1有限元分析的目的和概念•任何具有一定使用功能的构件(称为变形体(deformedbody))都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信息一般有三类：19•(1)构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移(displacement))；•(2)构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态(称为应变(strain))；•(3)构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态(称为应力(stress))；20•有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。•在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判，以便对不合理的21•设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。•有限元方法是基于“离散逼近(discretizedapproximation)”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。22•一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数(basefunction)的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域(sub-domain)的分段函数(piecesfunction)组合(如采用分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。23典型例题1一个一维函数的两种展开方式的比较•设有一个一维函数f（x)，x∈[x0，xl]分析它的展开与逼近形式。•首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数(Fourierseries)展开，则有：•f(x）≈c0.φ0（x∈[x0，xl]）+c1.φ1（x∈[x0，xl]）+….其中φi（x∈[x0，xl]）为所采用的基底函数，它的定义域在全域[x0，xl]上，c0，c1，c2…为展开的系数。24•第二种是基于子域[xi,xi+1]上的分段展开形式，若采用线性函数，其中是基底函数•这两种函数的展开如下图所示：•对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“单元”的概念。•基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1)因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。•综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。一维阶梯杆结构问题的求解例题21D阶梯杆结构问题的材料力学求解•如上图所示为一个阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构尺寸为：•E1=E2=2×107Pa，A1=2A2=2cm2,l1=l2=10cm，F=10N。用材料力学的方法求解。•解：首先对右端的杆件②进行力学分析，见图go•将两个杆件进行分解，并标出每一个关联节点处的受力状况，由于在C点处受有外力F，则•由杆件②的平衡关系可知，有•由于IB1和IB2是一对内力所以•杆件①的应力为：•杆件②的应力σ2为：•由于材料是弹性的，由虎克定律(Hookelaw)有•其中ε1和ε2为杆件①和②的应变，则有•由应变的定义可知，它为杆件的相对伸长量，即ε=ΔL/L，因此，ΔL=ε.L⋅，具体对杆件①和②，有•由于左端A为固定，则该点沿x方向的位移为零，记为uA=0，而B点的位移则为杆件①的伸长量ΔL1，即back•C点的位移为杆件①和②的总伸长量，即•则归纳以上结果完整的解答为•讨论：1.以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调方程(compatibilityequation)，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；2.若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的求解。例2.21D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系•所处理的对象上例相同，要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。•解：分离受力•首先分析图2-6(c)中杆①内部的受力及变形状况，它的绝对伸长量为，则相应伸长量为•（uB-uA)则相应的伸长量ε1为:•由虎克定律，它的应力σ1为:•杆①的内力IB1为：•对于杆②进行同样的分析和计算，有它的内力IB2为：•对于节点C•代入•将节点A、B、C的平衡关系写成一个方程组，有•对于节点A，有平衡关系：•代入对于节点B代入•写成矩阵形式•将材料弹性模量和结构尺寸代入方程中，有以下方程（采用国际单位）•由于左端固定，即uA=0,该方程的未知量为求解方程•代入：例2.31D阶梯杆结构基于位移求解的通用形式•将方程改写成•再将其分解为两个杆件之和，即写成•左端第一项实质上是左端的第2项实质为左端第2项的实质为go•可以看出：方程的左端就是杆件①的内力表达和杆件②的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以划分出较小的“构件”(component)，每一个“构件”上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系，这样的•“构件”就叫做单元(element)，它意味着在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性(generalization)和标准性(standardization)，只要根据实际情况将单元表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单元)的描述。•从式可以看出，虽然它们分别用来描述杆件①和杆件②的，但它们的表达形式完全相同，因此本质上是一样，实际上，它们都是杆单元(barelement）back可以将杆单元表达为如图所示的标准形式将单元节点的位移写成将单元节点外力写成因此该单元节点内力为它将与单元的节点外力pe相平衡，则有因此，该方程可以写成进一步表达成其中Ke叫做单元K11的刚度矩阵，K11、K12、K21、K22叫做刚度矩阵中的刚度系数2.3有限元分析的基本流程•下面以一个1D三连杆结构为例，展现有限元分析的全部过程例1D三连杆结构的有限元分析过程•采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所有力学参量。相关的材料参量和尺寸为：•：所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单元），基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系（叫做单元刚度方程），对于杆单元来说就是式下下一步就•是将各个单元进行组合和集成，以得到该结构的整体平衡方程。按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值（叫做处理边界条件），就可以求解出所有的节点位移和支反力，最后在得到所有的节点位移后，就可以计算每一个单元的其它力学参量（如应变、应力）具体步骤•1.节点编号和划分单元①的刚度方程为单元②的刚度方程为单元③的刚度方程为2.计算各单元的单元刚度方程•3.组装各单元刚度方程式中就是节点1、2、3、4上的合成节点力即•代入数值•4.处理边界条件并求解：已知的边界条件是•U4=0代入•由于u4=0，则划掉上述刚度矩阵的第4列和第4行，则有•5.求支反力•在求得所有节点位移后求P4求各个单元的其他力学量（应变应力）•这样可以得