利用导数研究函数的极值(上课用)

用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；3.如果恒有，则是?。)(xf0)('xf常数0)(/xf0)(/xf什么条件？为增（减）函数的是函数或、)()0(0)(4/xfxf充分不必要条件2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/（x）;③解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.3.3.2利用导数研究函数的极值1、如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？2、y=f（x）在这些点的导数值是多少？3在这些点附近,y=f（x）的导数的符号有什么规律？探索思考：oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xfx1,x3为极大值点x2,x4为极小值点统称极值点f(x1),f(x3)为极大值f(x2),f(x4)为极小值统称极值极大值一定比极小值大吗？求函数极值的一般步骤：三、例题选讲:上的最大值与最小值）求函数在区间（并画出图象。）求函数的极值（、已知函数例]4,3[2,14431)(13xxxf（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数（3）求方程的根（4）由方程的根左右的导数符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况0)(/xf0)(/xf(5)计算端点值，并与极值比较大小最值练习3()fxx有极值点吗？230f(x)x解：导数值为0的点一定是函数的极值点吗?不一定是该函数的极值点.导数为零的点是该点为极值点的什么条件？左右导数异号.必要不充分条件x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的最大值与最小值当x=±2时，函数有最大值13，当x=±1时，函数有最小值41.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（-2，,2）上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.156a3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.极值逆用a=4,b=-11.1、下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx（2）函数cosyxx的导函数()fx在区间[]，上的图象大致是（）xyOxyOxyOxyO（A）（B）（C）（D）A3．函数f(x)=x＋的极值情况是()(A)当x=1时取极小值2，但无极大值(B)当x=－1时取极大值－2，但无极小值(C)当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2(D)当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值21xD4.（2006年天津卷)函数的定义域为开区间()fx导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。()fx(,)ab(,)ab(,)ab()fxA(A)1(B)2(C)3(D)4abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O练习:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y’-0+0-y↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3.5、已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件.]1,0[x解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.023)(2axxxf由于当x0时,当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1..0)(,0)(xfxf(2)等价于当时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切恒成立.]1,0[x]1,0[x由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切恒成立.]1,0[x所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.