反比例函数专题知识点归纳-常考(典型)题型--重难点题型(含详细答案)

反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录............................................................1二、基础知识点......................................................21.知识结构......................................................22.反比例函数的概念..............................................23.反比例函数的图象..............................................24.反比例函数及其图象的性质......................................25.实际问题与反比例函数..........................................4三、常考题型........................................................61.反比例函数的概念..............................................62．图象和性质...................................................63．函数的增减性.................................................84．解析式的确定................................................105．面积计算....................................................126．综合应用....................................................17三、重难点题型.....................................................221.反比例函数的性质拓展.........................................222.性质的应用...................................................231.求解析式..................................................232.求图形的面积..............................................233.比较大小.................................................244.求代数式的值.............................................255.求点的坐标...............................................256.确定取值范围.............................................267.确定函数的图象的位置.....................................26二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念1．y=𝑘𝑥（k≠0）可以写成y=𝑥−1（k≠0）的形式，注意自变量x的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；2．y=𝑘𝑥（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数y=𝑘𝑥的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=𝑘𝑥的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=𝑘𝑥（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|𝑘|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|𝑘|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=𝑘𝑥上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|𝑘|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|𝑘|）．图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|𝑘|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．②直线y=𝑘1𝑥与双曲线y=𝑘2𝑥的关系：当𝑘1𝑘2＜0时，两图象没有交点；当𝑘1𝑘2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3xB．y－3=2xC．3xy=1D．y=𝑥2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14𝑥B．y=−1𝑥2C．y=1𝑥−1D．y=1+1𝑥答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）𝑥𝑘2+𝑘−3是反比例函数。①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．答案：①因为函数是反比例函数，且经过二、四象限所以{k+1＜0k2+k−3=−1解得：k=－2②因为函数是反比例函数，且y随x的增大而减小所以{k+1＞0k2+k−3=−1解得：k=1（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=𝑎𝑏𝑥的图象位于第________象限．答案：因为y=ax+b经过一、二、四象限所以a＜0，b＞0所以ab＜0所以函数y=abx经过二、四象限（3）若反比例函数y=𝑘𝑥经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第_____象限．答案：因为函数y=kx经过点（－1，2）所以2=k−1，解得k=－2所以y=－kx+2为y=2x+2所以a＞0，b＞0所以经过一、二、三象限（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数y=𝑎𝑥的图象上，则直线y=ax+b不经过的象限是答案：因为点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上所以b=aa=1因为a·b＜0所以a＜0所以y=ax+b经过一、二、四象限，不经过第三象限（5）若P（2，2）和Q（m，−𝑚2）是反比例函数y=𝑘𝑥图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过哪几个象限？答案：因为P（2，2）是y=kx上的点所以k=4因为Q（m，−m2）是反比例函数y=kx图象上的点所以−m2=4m所以m＜0所以y=kx+m经过一、三、四象限（6）已知函数y=k（x－1）和y=𝑘𝑥（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：B3．函数的增减性（1）在反比例函数y=𝑘𝑥（𝑘＜0）的图象上有两点A（𝑥1，𝑦1），B（𝑥2，𝑦2），且𝑥1＞𝑥2＞0，则𝑦1−𝑦2的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数答案：A因为k＜0所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大因为x1＞x2所以y1＞y2，所以y1−y2为正数（2）在函数y=−𝑎2−1𝑥（a为常数）的图象上有三个点（−1，𝑦1），（−14，𝑦2），（12，𝑦3），则函数值𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系是怎样的？答案：因为函数为y=−a2−1x，其中−a2−1＜0所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大因为－1＜−14＜12所以y1＜y2＜y3（3）下列四个函数中：①y=5x；②y=－5x；③y=5𝑥；④y=−5𝑥．其中y随x的增大而减小的函数有：答案：要使y随x的增大而减小，则正比例函数k＜0符合条件的有：②③为反比例函数，且k＞0，是在每一个象限内y随x的增大而减小，不符合。综上得，符合条件的有：②（4）已知反比例函数y=𝑘𝑥的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：{𝑦=2𝑥𝑦=𝑥+1，解得{𝑥=1𝑦=2所以反比例函数过点（1,2），则k=2＞0所以当x＞0时，在第一象限，y随x的增大而减小4．解析式的确定（1）若y与1𝑥成反比例，x与1𝑧成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定答案：B因为y与1x成反比例所以y∙1x=𝑘1因为x与1z成正比例所以x=𝑘2∙1z合并得：yz=𝑘1𝑘2所以为反比例函数（2）若正比例函数y=2x与反比例函数y=𝑘𝑥的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．答案：因为y=2x过点（2，m）所以m=2×2=4因为y=kx过点（2，m），即（2,4）所以k=8{𝑦=2𝑥𝑦=8𝑥，解得另一个点为：（－2，－4）（3）已知反比例函数y=m2x的图象经过点（－2，－8），反比例函数y=mx的图象在第二、四象限，求m的值．答案：因为函数y=m2x的图象经过点（－2，－8）所以－8×（－2）=m2m=±4因为y=mx的图象在第二、四象限所以m＜0所以m=－4（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数y=𝑚+1x（m≠0）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．答案：①{3=𝑥0+𝑚3=𝑚+1𝑥0解得：{𝑥0=1𝑚=2②一次函数解析式为：y=x+2反比例函数解析式为：y=3x（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：①y=34x，0≤x≤8；y=48x，x＞8②30③消毒时间为：483−3×34=13.25＞10，所以有效5．面积计算（1）如图，在函数y=−3𝑥的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为𝑆1、𝑆2、𝑆3，求三个面积的大小关系。答案：根据反比例函数图像面积的性质知𝑆1