无穷级数的概念与性质

9.1级数的概念与性质级数的基本概念级数的收敛和发散级数的基本性质收敛的必要条件无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…nnnuuuu211注：和以前学习的数列区别在于项数。称为级数的一般项或通项.则称表达式nu为一个无穷级数,简称为级数..,1数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数nnnuu.)(),(:1数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同nnnnxuxuu下列各式均为常数项级数;214121211nnn;211nnn.cos2cos1coscos1nnn例这是一个函数项级数通项是nxnxxxxsin...sin...3sin2sinsin例级数的收敛与发散:如果部分和数列ns有极限s,即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和，并记作s1nnu如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)是否收敛例：判断级数...21...41211n否有和分析：判断收敛即指是211])21(1[1nnS解：])21(1[2nn上式中nnSlim）（1212limnn2上级数收敛是否收敛例：判断级数......321nnS解：部分和2)1(nn)(等差数列求和公式2limlim2nnSnnn上级数发散是否收敛例：判断级数...)1(1...431321211nn规律可循解：上述数列的通项有)111(limlimnSnnn上级数收敛)111(...)4131()3121()2111(nnSn部分和111)1(1nnnnan111n1)(关系无穷小与无穷大的互逆是否收敛例：判断级数...1ln...34ln23ln12lnnn化简用公式解：上述数列的通项可BABAlnlnlnnnnnanln)1ln(1ln)ln)1(ln(...)3ln4(ln)2ln3(ln)1ln2(lnnnSn部分和)1ln(1ln)1ln(nn)1ln(limlimnSnnn上级数发散讨论等比级数的敛散性.11nnaq等比级数的部分和为：nkknaqS11当公比|r|1时,qrqaSnnnn1)1(limlim此时等比级数收敛,其和为：。1qaS解qqan1)1(,1qa例当公比|r|1时,.1)1(limlimqqaSnnnn当公比r=1时,.limlimnaSnnnSn=a,n为奇数0,n为偶数当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比r=1时,当公比|r|1时,等比级数发散.综上所述:.lim,不存在故nnS该结论需要记忆，用于判定各种等比数列是否收敛。1qaS基本性质性质1若级数1nnu收敛，其和为s，则级数1nnku亦收敛，且其和为ks.性质2设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.是否收敛例：判断级数113)1(2nnn两个部分解：上述级数可以分为1113)1(32nnnnn和;31321的等比数列是公比为nn;313)1(11的等比数列是公比为nnn上级数收敛)31-(-13131-131和为45然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍性质：在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.性质：收敛的必要条件级数收敛1nnu.0limnnu证明sunn1设,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0逆否命题成立：级数发散1nnu0limnnu的敛散性。例：判断级数12)1(nnn12,212,2112)1(limknknnnnn解：0级数发散1nnu0limnnu由上述级数发散