抽象函数的单调性

1抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。一类：一次函数型函数满足：()()()fabfafbk或()()()fabfafbk例1、()fx对任意,xyR都有：()()()fxyfxfy，当0,()0xfx时，判断()fx在R上的单调性。上是增函数在解：RxfxfxfxxfxxxxxxfxfxfxxfxfxxxfxfxfxxRxx)(,00)(,0)()()()(,,212121212122212221212121例2、f(x)对任意实数x与y都有()()()2fxfyfxy,当x0时,f(x)2（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)325232)()2()32(3)2(2)12()1()2(,1,22)(0)(,02)(2)(0,0,2)()(,12121212121212121aaRxffafffffyxRxfxfxfxxfxfxxxxxxxfxfxfxxRxx解得上是增函数在又原不等式可化为则）令（上是增函数在则时，当）解：（【专练】：1、已知函数fx()对任意xyR，有fxfyfxy()()()2，当x0时，fx()2，f()35，求不等式faa()2223的解集。2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有()()()fxyfxfy，且当0,()0xfx时(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．2二类：对数函数型函数满足：()()()fabfafb或()()()affafbb例1、f(x)是定义在x0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x1时有f(x)0;f(3)=-1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x0上是减函数；（3）解不等式f(x)+f(2-x)2。3221322-1,9122)91(),2()2()()3(0)(,0)(0)(,10)()()()()()()(0),,0(,22)91(2)31()31()3131(,311)31(),3()31()331(,3,310)1(),3()1()31(,3,1122212121212122212221212121xxxfxxfxfxfxxfxfxfxxfxxxxxxfxfxfxxfxfxxxfxfxfxxxxffffyxffffyxffffyx解得原不等式可化为：且上是减函数。在函数）（即则令解得则令解得则）令解：（例2、定义在(0,)上函数()yfx对任意的正数,ab均有：()()()affafbb，且当1x时，()0fx,（I）求(1)f的值;（II）判断()fx的单调性,【专练】：1、定义在(0,)上的函数f(x)对任意的正实数,xy有)()()(yfxfyxf且当01x时，()0fx.求:(1))1(f的值.(2)若1)6(f,解不等式2)1()3(xfxf；2、函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf又，（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数（3）解不等式2(21)2fx3、设()fx是定义在(0,)上的函数，对任意,(0,)xy，满足()()()fxyfxfy且当1x时，()0fx。（1）求证：()()()xffxfyy；（2）若(5)1f，解不等式(1)(2)2.fxfx3三类：指数函数型函数满足：()()()fabfafb或()()()fafabfb例1、定义在R上的函数)(xf，满足当0x时，,1)(xf且对任意,,Ryx有()()(),fxyfxfy又知(1)2.f（1）求)0(f的值；（2）求证：对任意Rx都有0)(xf；（3）解不等式4)3(2xxf；【专练】：1、定义在R上的函数()yfx对任意的,mn都有()()()fmnfmfn，且当0x时，0()1fx，（I）证明：Rx都有0)(xf；（II）求证：()yfx在R上为减函数；（III）解不等式f(x)·f(2x-x2)1。2、若非零函数)(xf对任意实数ba,均有()()()fabfafb，且当0x时，1)(xf；（1）求证：()0fx；（2）求证：)(xf为减函数（3）当161)4(f时，解不等式41)5()3(2xfxf；四类：幂函数型函数满足：()()()fabfafb或()()()afafbfb例1、已知函数()fx满足：①对任意,xyR，都有()()()fxyfxfy，②(1)1,(27)9,01ffx且当时，()0,1fx。（I）判断()fx的奇偶性，（II）判断()fx在0,上的单调性，并证明。（III）若0a，且3(1)9fa，求a的取值范围。五类：其他类数函数型例1、定义在1,1上的奇函数()yfx有(1)1f,且当,1,1mn时,总有:()()0,()fmfnmnmn,（I）证明:()fx在1,1上为增函数,(II)解不等式:11()()21fxfx,(III)若2()21fxtat对所有1,1x,1,1a恒成立,求实数t的取值范围.4例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；【专练】：1、已知定义在,1(1,)上的奇函数满足：①(3)1f；②对任意的2x，均有()0fx；③对任意的,xyR，均有(1)(1)(1)fxfyfxy；（1）试求(2)f的值；（2）求证：()fx在(1,)上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)，不等式2(cossin)3fa恒成立，求a的取值范围，2、已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（xy）=f(x)·f(y)＋1f(y)－f(x)成立，且f（a）=1（a为正常数），当0x2a时，f（x）0．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．3、已知()fx是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f，若任意的[1,1]ab、，总有()(()())0abfafb．（1）判断函数()fx在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)fxfx；（3）若2()21fxmpm≤对所有的[1,1]x恒成立，其中[1,1]p（p是常数），求实数m的取值范围．