第七讲-多元函数积分学(一)

..第七讲多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数(,)fxy定义在有界闭区域D上，则二重积分01(,)lim(,)niiiiDfxydf精确定义求极限问题：11(,)lim(,)nnnijDbadcbadcfxydfaicjnnnn先提出11nn，在凑出,ijnn，可以看出ni是0到1上的x，jn是0到1上的y，n1是0到1上的,dxdy注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当(,)fxy在D上连续时，或者(,)fxy在D上有界，且在D除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则(,)fxy在D上可积。②极限存在与D的分割方式无关。ddxdy③几何意义曲顶柱体的体积(,)DVfxyd；物理意义D的质量(,)Dmxyd。2、二重积分的性质（1）区域面积DdA，其中A为区域D的面积。（2）可积函数必有界：当(,)fxy在闭区域D上可积时，则(,)fxy在D上必有界（3）线性性质：1212(,)(,)d(,)d(,)dDDDkfxykgxykfxykgxy12,kk为常数。（4）可加性：1212,DDDDD，12(,)d(,)d(,)dDDDfxyfxyfxy。（5）保号性：若在D上(,)(,)fxygxy，则(,)(,)DDfxydgxyd；特殊的有|(,)d|(,)dDDfxyfxy。（6）估值定理：设max(,),min(,)DDMfxymfxy，D的面积为,则有(,)DmfxydM（7）二重积分中值定理：设函数(,)fxy在闭区域D上连续，D的面积为，则至少存在一点(,)D使得(,)(,)Dfxydf。3、二重积分的计算（1）直角坐标系计算法①X型：12(,)()(),Dxyxyxaxb，12(),()xx在,ab上连续，则21()()(,)(,)bxaxDfxyddxfxydy②Y型：12(,)()(),Dxyyxycyd，12(),()yy在,cd上连续，则21()()(,)(,)dycyDfxyddyfxydx（2）极坐标系计算法..12(,)()(),Drr其中12(),()在,上连续，则21()()(,)(cos,sin)d(cos,sin)DDfxydfrrrdrdfrrrdr注意：X型，Y型和极坐标的相互转化有时可方便解题cossinxryr4、二重积分的对称性(,)Dfxyd，记1D为其对称区域的一半（1）若D关于x轴对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy，（2）若D关于y轴对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy，（3）若D关于原点对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy，（4）（轮换对称性）若D关于yx对称，有(,)(,)DDfxydfyxd若yx将D分成12,DD两部分，有12(,)(,)DDfxydfyxd二、三重积分1、三重积分的概念设三元函数(,,)fxyz定义在三维有界空间区域上，则三重积分01(,,)dlim(,,)nkkkiifxyzvfv111(,,)lim(,,)nnnnijkbadcfebadcfefxyzdvfaicjeknnnnnn方法：先提出111nnn，在凑出,,ijknnn，可以看出ni是0到1上的x，jn是0到1上的y，kn是0到1上的z，n1是0到1上的,,dxdydz。2、三重积分的性质（1）区域面积dvV，其中V为区域的面积。（2）可积函数必有界：当(,,)fxyz在闭区域上可积时，则(,,)fxyz在上必有界（3）线性性质：1212(,,)(,,)(,,)(,,)kfxyzkgxyzdvkfxyzdvkgxyzdv，12,kk为常数。（4）可加性：1212,，12(,,)(,,)(,,)fxyzdvfxyzdvfxyzdv。（5）保号性：若在上(,,)(,,)fxyzgxyz，则(,,)(,,)fxyzdvgxyzdv；..特殊的有|(,,)|(,,)fxyzdvfxyzdv。（6）估值定理：设max(,,),min(,,)Mfxyzmfxyz，的体积为V,则有(,,)mVfxyzdvMV（7）三重积分中值定理：设函数(,)fxy在闭区域上连续，的体积为V，则至少存在一点(,,)使得(,,)(,,)fxyzdvfV。3、三重积分的计算（1）坐标平面投影法（二套一）12(,,)(,)(,),(,)xyxyzzxyzzxyxyD2211(,)(,)(,)(,)(,,)d(,,)ddddd(,,)dzxyzxyzxyzxyDDfxyzvfxyzzxyxyfxyzz（2）坐标轴投影法（一套二）(,,)(,),zxyzxyDazb(,,)d(,,)dd(,,)ddzzbbaaDDfxyzvfxyzxydzdzfxyzxy（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”cosx，siny，zz，其中0,02,z(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz（4）球坐标计算法sincosxrsinsinyrcoszr其中0,02,0r2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr4、三重积分的对称性（1）若关于xoy平面对称，则10,(,,)(,,)(,,)d,2(,,)d,(,,)(,,)fxyzfxyzfxyzvfxyzvfxyzfxyz1为对称区域的一半。同理与关于yoz平面对称和xoz平面对称（2）轮换对称性：若关于,,xyz具有轮换对称性（即若,,xyz，将,,xyz意互换后的点也属于），则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值(,,)(,,)(,,)fxyzdvfyxzdvfyzxdv当：()()()fxdvfydvfzdv，有[()()()]3()fxfyfzdvfxdv三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程(,)zfxy组成，则曲面的面积221xyDAzzdxdy若光滑曲面方程为(,,)0Fxyz，且0zF，则,,(,)yxxyzzFFzzxyDxFyF222xyzzDFFFAdxdyF2、质心..（1）薄片的质心：(,)DMxyd，1(,)DxxxydM，1(,)DyyxydM若薄片是均匀的，密度为常数，则质心即形心1DxxdA，1DyydA（2）空间立体质心：(,,)Mxyzdv，则：1(,,)xxxyzdvM，1(,,)yyxyzdvM，1(,,)zzxyzdvM3、转动惯量（1）平面薄片D的转动惯量，若面密度为(,),(,)xyxyD2(,)ddxDIyxyxy，2(,)ddyDIxxyxy（2）空间立体的转动惯量,若密度为(,,)xyz,(,,)xyz22()(,,)dxIyzxyzv,22()(,,)dyIxzxyzv,22()(,,)dzIxzxyzv4、引力（1）对xOy面上的平面薄片D对原点处的单位质量质点的引力分量为3(,)dxDxyxFG；3(,)dyDxyyFG，22()xy（2）空间立体的对空间任意一点处的单位质量质点的引力分量为03(,,)()xxyzxxFGdvr03(,,)()yxyzyyFGdvr03(,,)()zxyzzzFGdvr注：①匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力；②匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质点为半径的球对该点的引力。练习题：1、求极限2211lim()()nnnijnninj2、交换下列积分次序（1）22212(,)xxxdxfxydy；（2）ln10(,)exdxfxydy；（3）sin0sin2(,)xxdxfxydy（4）22113920010(,)(,)xxIdxfxydydxfxydy3、计算下列二重积分（1）xyDed，(,)1Dxyxy；（2）21200yxIdxedy；（3）0sindyxdyxx4、将在下列区域表示为极坐标形式（函数为(,)fxy）（1）22{(,)2}Dxyxyx；（2）{(,)01,01}Dxyyxx（3）1100(,)dxfxydy；（4）2100(,)xdxfxydy5、用极坐标计算积分（1）2222200()aaxxdxxydy；（2）2112220()xxdxxydy；（3）20dxIex；（4）22ln(1)Dxyd，其中D是221xy在第一象限区域；..（5）222211Dxydxy，其中D是221xy在第一象限区域；6、（1）求曲面222zxy与2262zxy围成立体体积。（2）计算xoy面上22xyax围成的闭区域为底，以曲面22zxy为曲顶柱体体积。7、设函数(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D是由1,1,2yxyx围成，求(,)fxy。8、设函数(,)fxy在闭区域22{(,),0}Dxyxyyx上连续，且228(,)1(,)Dfxyxyfxydxdy，求(,)fxy。9、设平面闭区域{(,),}Dxyaxaxya，1{(,)0,}Dxyxaxya，则(cossin)Dxyxyd（）（A）12cossinDxyd（B）12Dxyd（C）14(cossin)Dxyxyd（D）010、计算2ln(1)ddDIxyyxy其中D由24,3,1yxyxx围成11、计算Ddxdyyxyfx)(122，其中D由3xy，1y，1x围成。12、已知(,)1Dxyxy，计算下列二重积分（1）()()()()DafxbfyIdfxfy，()ft是定义在(,)连续正值函数，常数0,0ab。（2）()xyDIeed，常数0。13、设2(,)(,)fxyFxyxy在[,][,]Dabcd上连续，求(,)DIFxyd14、已知函数(,)fxy具有二阶连续偏导数，且(1,