三角形四心的向量性质

1三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知ABC，，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若GAGBGC0．则G是ABC△的重心．证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以()GAGBGC．以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，所以GDGA．又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，GEED．所以AE是ABC△的边BC的中线．故G是ABC△的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1如图2所示，ABC△的重心为GO，为坐标原点，OAa，OBb，OCc，试用abc，，表示OG．解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，GCOGcGBOGbGAOGaGCGBGAOGcba而03OGcba图223cbaOG点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则ADBECF0．证明：如图的所示，GCCFGBBEGAAD232323)(23GCGBGACFBEAD0GCGBGAADBECF0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，则1()4POPAPBPCPD．证明：1()2POPAPC，1()2POPBPD，1()4POPAPBPCPD．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G是ABC△内一点，满足MCMBMA，则点M为△ABC的外心。例2已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），且GM∥AB，（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线l过图33点（0，1），并与曲线交于P、Q两点，且满足0OQOP，求直线l的方程。解（1）设C（x,y），则G（3,3yx），BAyxCMG图5其中0,yx，由于GM∥AB，故mym，外心M（0，3y），为外心MMCMA，得222)3(1)3()0(yyyx轨迹E的方程是3322yx)0(xy（2）略。三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知G是ABC△内一点，满足GCGBGCGAGBGA，则点G为垂心。（2005全国文12）证明:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,,同理所以P为ABC的垂心.点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA4BCHA图6则点H是△ABC的垂心证明:2222BCCAHBHABACBCABAHBHA)()(BACBCAHBHA)(得0即BAHCHC)(0HCAB同理HBAC，HABC故H是△ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用命题四：O是内心ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA变式1：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则O是ABC内心的充要条件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131变式2：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。例4（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足)(ACACABABOAOP，,0，则P的轨迹一定通过△ABC的内心。解：如图APOAOP由已知)(ACACABABOAOP，PECOABD图75)(ACACABABAP，,0,0设ADABAB，AEACAC，D、E在射线AB和AC上。AEADAPAP是平行四边行的对角线。又AEAD，ADPE是菱形。点P在EAD即CAD的平分线上。故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。五、三角形外心与重心的向量关系及应用命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：)(31OCOBOAOG证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。∴)(3132ACABOAADOAAGOAOG)(31)(31OCOBOAOAOCOAOBOA反之，若)(31OCOBOAOG，则由上面的证明可知：)(31ACABAG设D为BC的中点，则)(21ACABAD，GDOCBA图86从而ADAG32，∴G在中线AD上且AG=32AD，即G为重心。六、三角形外心与垂心的向量关系及应用命题六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是OCOBOAOH。证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则OCOBOD∵O为外心，∴OB=OC，∴平行四边形OBDC为菱形∴OD⊥BC，而AH⊥BC，∴AH∥OD，∴存在实数，使得OCOBODAH∴OCOBOAAHOAOH①。同理，存在实数，，使得OAOCOBBHOBOH②OBOAOCCHOCOH③比较①、②、③可得，1，∴OCOBOAOH反之，若OCOBOAOH，则OCOBAH，∵O为外心，∴OB=OC∴0||||)()(22OCOBOCOBOCOBCBAH∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。∴H为垂心。DHOBCA图97例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，试求∠A的度数解：设△ABC的外接圆半径为R，点O是外心。∵H是△ABC的垂心∴OCOBOAOH∴OCOBOAOHAH∴)2cos21(2)(||2222AROCOBAHAH∵OBOCBC，∴)2cos21(2)(||2222AROBOCBCBC∵AH=BC，∴AA2cos212cos21∴02cosA而∠A为△ABC的内角，∴0＜2A＜360°从而2A=90°或270°∴∠A的度数为45°或135°。七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=21GH。证明：如图10，由命题五、六知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。)(31OCOBOAOG，OCOBOAOH，∴OGOH3∴O、G、H三点共线，且OG=21GH。例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三个顶点。试写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线。（2002年全国）解：重心G为)3,31(cb，设H点的坐标为),(0ybDGHOBCA图108OCBAP图11∵BCOH，BC=(b-1，c)，0)1(0cybb，故cbby)1(0H点的坐标为))1(,(cbbb设外心F的坐标为),21(1y由|FO|=|FC|，得ccbby2)1(21，所以F点的坐标为（，）。从而可得出GH=（，），FH=（，）FH32GH，GH∥FH，F、G、H三点共线。点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破。例8、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如图11，设外接圆半径为R，点O是外心，则PA2+PB2+PC2=222)()()(OCPOOBPOOAPO)(262OCPOOBPOOAPOR)(262OCOBOAPOROHPOR262（由命题六知：H为垂心，）∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2R·OH当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R2－2R·OH