北师大版数学八年级下册第四章章末复习教案

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第四章因式分解章末复习【知识与技能】掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,及在实数范围内分解因式的运用,培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.【过程与方法】通过寻求乘法公式与因式分解的关系,理解因式分解的含义.【情感态度】通过因式分解的学习,体会整体数学思想和转化的数学思想.【教学重点】熟练运用各种方法来进行因式分解.【教学难点】因式分解各种方法的综合运用,利用因式分解解决数学问题.一.知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系二、释疑解惑,加深理解1.因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.2.提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.3.公式法(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.【教学说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算;(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.三、典例精析,复习新知1.下列变形是否是因式分解?为什么,(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.【解析】(1)不是因式分解,提公因式错误,可以用整式乘法检验其正确性.(2)不是因式分解,不满足因式分解的含义;(3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等;(4)不是因式分解,是整式乘法.2.下列变形是否正确?为什么?(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;(3)x2-2x-1=(x-1)2.【解析】(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解.(3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分解3.用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay;(2)6xyz-3xz2;(3)-x3z+x4y;(4)36aby-12abx+6ab;(5)3x(a-b)+2y(b-a);(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).【解析】(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化成-(a-b)的,(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y),然后再提取公因式.解:(1)ax-ay=a(x-y);(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z);(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy);(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1);(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y);(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).4.用公式法分解因式.(1)m2+2m+1;(2)9x2-12x+4;(3)1-10x+25x2;(4)(m+n)2-6(m+n)+9;(5)4x2-9.解:(1)m2+2m+1=(m+1)2;(2)9x2-12x+4=(3x-2)2;(3)1-10x+25x2=(1-5x)2;(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2;(5)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).5.分解因式.(1)x3-2x2+x;(2)(a+b)2-4a2;(3)x4-81x2y2;(4)x2(x-y)+y2(y-x);(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2;(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a);(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y);(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2;(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).【教学说明】基础习题的练习,增强学生对于上面知识点的理解,也有利于学生发现自己的学习漏洞,及时弥补,同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫.四、复习训练,巩固提高1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=_______.分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).解析:∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2,∴kxy=±2·3x·6y=±36xy.∴k=±36.2.利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9;(2)20022-4006×2002+20032;(3)5652×11-4352×11;(4)(534)2-(214)2.解:(1)原式=1999;(2)原式=1;(3)原式=1430000;(4)原式=28.3.计算4.解方程组分析:本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出解:由①得(x+2y)(x-2y)=5,③把②代入③中得x+2y=5,④∴原方程组化为②+④得2x=6,∴x=3.②-④得4y=4,∴y=1.∴原方程组的解为5.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.解:x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.当x-y=1,xy=2时,原式=2×12=2.6.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值.解:∵x2-y2=6,∴(x+y)(x-y)=6.又∵x-y=2,①∴x+y=3.②.7.求证:四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数.证明:设这四个连续自然数依次为n,n+1,n+2,n+3,则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.【教学说明】这些训练题有一定的难度,应对学生分层教学.五、师生互动,课堂小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式或提取公因式后,在考虑能否用公式法,最后,直到每一个因式都不能再分解为止布置作业:教材“复习题”中第1、3、4、7、9题.(1)对象:因式分解是把一个多项式进行恒等变形;(2)方向:因式分解与整式的乘法是互逆的过程,具有方向性;(3)目标:是要把一个多项式化成几个整式的乘积;(4)最终:把一个多项式分解到不能再分解为止.第五章分式与分式方程你本可以用那些和他们一起抱怨人生的时间,来读一篇有趣的小说,或者玩一个你喜欢的游戏。渐渐的,你不再像以往那样开心快乐,曾经的梦想湮灭在每日回荡在耳边的抱怨中。你也会发现,尽管你很努力了,可就是无法让你的朋友或是闺蜜变得更开心一些。这就不可避免地产生一个问题:你会怀疑自己的能力,怀疑自己一贯坚持的信念。我们要有所警惕和分辨,不要让身边的人消耗了你,让你不能前进。这些人正在消耗你。01.不守承诺的人承诺了的事,就应该努力地去做到。倘若做不到,就别轻易许诺。这类人的特点就是时常许诺,然而做到的事却是很少。于是,他的人生信用便会大大降低,到最后,也许还会成为一种欺诈。如果发现身边有这样的人,应该警惕,否则到最后吃苦的还是自己。02.不守时间的人俗话说浪费别人的时间就等于谋财害命,所以不守时间也就意味着是浪费别人的时间。与这种人交往的话,不仅把自己的时间花掉了,还会带来意想不到的麻烦。03.时常抱怨的人生活之事十有八九是不如意的,这些都是正常的。我们应该看到生活前进的方向,努力前进。而不是在自怨自艾,同时还把消极的思想传递给别人。这样的人呢,一遇到困难便停滞不前,巴不得别人来帮他一把。本来你是积极向上的,可是如果受到这种人的影响,那么你也很有可能会变成这样的人,所以应该警惕。04.斤斤计较的人凡事都斤斤计较的人,看不到远方的大前途,一味把精力放在小事上。比如两个人去吃饭,前提是AA制。然后饭吃好后他多付了5毛,最后他说我多付了5毛,你抽空给我吧。如此计较的人,失去了知己,也不会有很大的前途。05.不会感恩的人你善心地帮助了他,可是他却不以为然,而且还想当然的认为这是应当的。多次地帮助,换来的没有一句感谢的话语,更有甚者,还在背后说别人的坏话,真是吃力不讨好。06.自私自利的人以自我为中心,不会考虑别人的感受,想怎样就是怎样,也不会考虑大局,只为自己的感受。这种人,为了达到自己的私利会不择手段。如果看完以上的描述,你的脑海里冒出一张张熟悉的脸,显然,你正在被人日复一日地消耗着。这种消耗绝对可以毁你于无形之中。这些方法带来阳光那么,如何给自己搭建一个严严实实的保护网,让自己始终正能量爆棚,每一分钟都是恣意的阳光呢?跟着我们下面这五步做吧!他们继续往前走。走到了沃野,他们决定停下。被打巴掌的那位差点淹死,幸好被朋友救过来了。被救起后,他拿了一把小剑在石头上刻了:“今天我的好朋友救了我一命。”一旁好奇的朋友问到:“为什么我打了你以后你要写在沙子上,而现在要刻在石头上呢?”另一个笑笑回答说:“当被一个朋友伤害时,要写在易忘的地方,风会负责抹去它;相反的如果被帮助,我们要把它刻在心灵的深处,任何风都抹不去的。”朋友之间相处,伤害往往是无心的,帮助却是真心的。在日常生活中,就算最要好的朋友也会有摩擦,也会因为这些摩擦产生误会,以至于成为陌路。友情的深浅,不仅在于朋友对你的才能钦佩到什么程度,更在于他对你的弱点容忍到什么程度。学会将伤害丢在风里,将感动铭记心底,才可以让我们的友谊历久弥新!友谊是我们哀伤时的缓和剂,激情时的舒解剂;是我们压力时的流泻口,是我们灾难时的庇护所;是我们犹豫时的商议者,是我们脑子的清新剂。但最重要的一点是,我们大家都要牢记的:“切不可苛求朋友给你同样的回报,宽容一点,对自己也是对朋友。”爱因斯坦说:“世间最美好的东西,莫过于有几个头脑和心地都很正直的朋友。”

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