概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

1习题一1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号ba,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的盒子里（每个盒子可容纳两个球）解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a球可放入的任一个，其放法有313C种，b球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313C种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339CC种。（2）观察三粒不同种子的发芽情况。解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有8121212CCC种不同情况。（3）从五人中任选两名参加某项活动。解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数1025Cn。（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。解：此随机试验是把从0到100任一种分看作一个基本事件，101n。（5）将cba,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。a球可放入三个盒子中的任一个有313C种方法。b球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a球放入的盒子不能再放入b球，b球只能放入其余（无a球的盒子）两个中任一个，其放法有212C个。c只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为611213CC种。2．事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B表示“五件产品都是合格品”，则,ABAB各表示什么事件？BA、之间有什么关系？解：设kA“五件中有k件是不合格品”B“五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成：12345,,,,,SAAAAAB而12345AAAAAA,ABSAB，A与B是互为对立事件。3.随机抽验三件产品，设A表示“三件中至少有一件是废品”，设B表示“三件中至少2有两件是废品”，C表示“三件都是正品”，问,,,,ABCABAC各表示什么事件？解：A“三件都是正品”，B“三件中至多有一件废品”，C“三件中至少有一件废品”，,ABAAC.4.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设1A表示“第一次射击击中飞机”，2A表示“第二次射击击中飞机”，试用21,AA及它们的对立事件表示下列各事件:B“两弹都击中飞机”；C“两弹都没击中飞机”D“恰有一弹击中飞机”；E“至少有一弹击中飞机”。并指出EDCB,,,中哪些是互不相容，哪些是对立的。解：1212121212,,,BAACAADAAAAEAA，B与C,B与D,D与C,C与E是互不相容的，C与E是相互对立的.5．在某班任选一名学生。记A“选出的是男生”;B“选出的是运动员”;C“选出的是北方人”。问：（1）CBACBA,各表示什么事件？（2）CBABC,各表示什么意义。（3）在什么条件下，AABC.解：（1）CBA=“选出的是南方的不是运动员的男生”。（2）BC表示该班选出北方的学生一定是运动员。CBA表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3）当BCA时AABC.6、设4321,,,AAAA是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：（1）这四个事件都发生；（2）这四个事件都不发生；（3）这四个事件至少有一个发生；（4）21,AA都发生，而43,AA都不发生；（5）这四个事件至多一个发生。（6）这四个事件恰有一个发生。解：（1）4321AAAA;（2）4321AAAA;（3）1234AAAA;（4）4321AAAA;（5）234AAA134AAA124AAA123AAA;(6)1234AAAA1234AAAA1234AAAA4321AAAA.37．从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。解：从52张牌中任取4张共有情况452C种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验的样本空间中基本事件的个数452Cn。设事件A“任取的4张花色都不相同”，A中包含的基本事件个数K可以用乘法原理求，事件A完成要从四种花色中各取一张，故413k,445213()0.1055kPAnC.8．某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。解：设事件A“至少有1人生日在10月”A“4个人生日都不在10月”3.07.0112111)(1)(4APAP.9．袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。解：此随机试验E为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为310P,即其基本事件共有310Pn个,设事件“第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k求法如下：首先事件A表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有14C种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有29P种。由乘法原理可知2914PCk52)(3102914PPCnkAP.10．将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。解：设事件A“至少出现一次正面”，A“全不出现正面”若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E的基本事件个数102n，A所包含的基本事件个数1k.则999.02111)(1)(10nkAPAP.411．盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。解：从盒中10只球任取5只的取法共有510C种，即为此随机试验的基本事件的个数，510Cn.设事件A“正好取得3只新球2只旧球”事件A所包含的基本事件的个数k的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有36C种；再从4只旧球中任取2只，其取法有24C种。由乘法原理得2436CCk,476.02110)(5102436CCCnkAP.12.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记A“甲取得正品”；B“乙取得正品”。求)./(),/(),(ABPABPAP解：求()PA的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件A是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。53106)(AP求)/(ABP问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率，样本空间1是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问题。此时基本事件个数919Cm,在此1中正品是5件，事件B包含的基本事件个数.51k95)/(ABP，求)/(ABP的问题可用上面两种方法，所不同的是A“甲取得一件是次品”，62(/)93PBA.13．甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。解：设事件A“甲市为雨天”;事件B“乙市为雨天”。则12.0)(18.0)(20.0)(ABPBPAP所求的问题：（1）67.03218.012.0)()()/(BPABPBAP;（2）6.05320.012.0)()()/(APABPABP;5（3）26.012.018.02.0)()()()(ABPBPAPBAP.14．甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。（1）事件A“取得2个红球”;（2）事件B“取得的两球颜色相同”解：(1)随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件总数625125125CCn.由乘法原理知道事件A包含的基本事件个数42671617CCk.62542)(nkAp.用321,,AAA分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用321,,BBB分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则22AAB。2A与2B相互独立。62542256257)()()(22BPAPAP（2）332211BABABABkA与)3,2,1(kBk相互独立,且332211,,BABABA三种情况互不相容，则112233()()()()PBPABPABPAB)()()()()()(332211BPAPBPAPBPAP62520725925152562572510253.15.制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为3.0,2.0,1.0；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为3.0。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9,而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的）解：设事件A“采用第一种工艺获得一级品”;事件B“采用第二种工艺获得一级品”;第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为(1,2,3),kAk由题设知道：.9.01.01)(1)(11APAP.8.02.01)(1)(22APAP.7.03.01)(1)(33APAP第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为(1,2)kBk.6由题设知道：).(7.03.01)(1)(211BPBPBP9.0)()()(9.0)()(321321APAPAPAAAPAP45.09.07.08.09.039.08.07.07.08.0)()(8.0)()(2121BPBPBBPBP所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为A），二级品（记为B）,次品（记为C）的概率。解：随机试验E是100件产品任取5件，其基本事件的个数5100Cn。事件A包含的基本事件个数An求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数595AnC5955100()0.76ACnPAnC事件B包含的基本事件个数Bn求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为15C,再从95件无缺陷的产品中任取4件，个数为14595BnCC，由乘法原理知()0.22BnPBnCAB()()()()PCPABPAPB(因为,AB互不相容)()1()1()1()()PCPCPABPAPB02.022.076.01.17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。解：此问题是独立重复试验问题。设事件A“10台机床中任3台出故障”，0001.0)99.0()01.0()(73310CAP.18．据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。解：设事件A“至少对6人有疗效”,967.02.08.0)(1010610kkkkCAP.19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工7序不合格的概率。解：设事件A“至少有一道工序不合格”;A“两道工序后都