11-7一般周期函数的傅里叶级数

第七节一般周期函数的傅里叶级数第十一章傅里叶级数一、周期为2l的函数展开成二、定义在[-l,l]和[0,l]区间上的函数展开成傅里叶级数一、周期T=2l的函数展开成傅里叶级数思路：)(xflT2)()(πttfl],[llxπ2Tπ]π,[t展开natnttbndsin)(1π1tnttdcos)(ππ),2,1,0(n),2,1(ntxlπ)(xf)π(lxtlxnπlxnπxllxnxflldππcos)(π1xlxnxfllldπcos)(1),2,1(ntnttbndsin)(π1ππxlxnxfllldπsin)(1xllxnxflldππsin)(π1lxtπ定理11.16(展开定理)满足收敛的周期函数设周期为)(2xfl)πsinπcos(210lxnblxnaannn的间断点时，为当的连续点时；为当)(,2)()()(),(xfxxfxfxfxxf为其中系数nnba,里叶级数处处收敛，且定理的条件，则它的傅naxlxnxflbllndπsin)(1l1xlxnxflldπcos)(),2,1,0(n),2,1(n结论(连续点处)(1)若以2l为周期的周期函数f(x)在(-l,l)上为奇函数，则),2,1(dπsin)(nxlxnxfbn其中(2)若以2l为周期的周期函数f(x)在(-l,l)上为偶函数，则(连续点处)),2,1,0(dπcos)(nxlxnxfan其中注傅里叶级数总收敛于(在f(x)的间断点x处)例1-1将)11(2)(xxxf的傅立叶级数,并求级数121nn(91考研)解y1ox12f(x)为偶函数,1)1(222nπn因f(x)偶延拓后在展成周期为2]1,1[x的和.故故8)12(1212πkk121nn故62π注]1,1[x解上表达式为周期设2,2,4)(Txf例2),0(20,02,0为常数ExExxf.展成傅里叶级数试将xf.)(1满足收敛定理条件xf),2,1,0(2)(mmxxfm的间断点：2)()()(mmmxfxfxS傅里叶级数之和函数：oyxE22.2E连续时，当)(xfxxm10)sincos(2)()(nnnlxnblxnaaxSxf,2l22),2,1,0,2(mmxnnba,2确定傅里叶系数：xxfad)(2122020,02,0xExxfExEx]dd0[212002xxnxfand2πcos)(21222002d2πcosd021xxnEx02π2πsin20nxn),2,1(n20,02,0xExxfxxnxfbnd2πsin)(2122xxnEd2πsin2120])1(1[nπnE,4,2,0nxkkEEk12)12(sin12122,3,1,2nπnExxnEd2sin2120oyxE22),2,1(0,0naEannb)2sin2cos(2)(10xnbxnaaxfnnn3º所求函数的傅里叶展开式为：),2,1,0,2(mmxRx，思想二、定义在[-l,l]和[0,l]区间上的函数周期延拓lTxF2)(傅里叶展开展成傅里叶级数1.将[–l,l]上的函数展成傅里叶级数xyOll)(xfyxOyll3ll3)(xFy:)(1进行周期延拓对xf)(xFy考虑)2(lT],(),()(llxxfxF满足：)()2(xFlxF且xyOll)(xfyxOyll3ll3)(xFy的傅里叶级数展开成周期为将lxF2)(2],,[3llx限制],(),()(llxxfxF的连续点时，为，且当)(),(xfxllx)()(xSxF)(xf10)sincos(2nnnlxnblxnaa的间断点时，为，且当)(),(00xfxllx)(0xS2)()(00xfxf2)()(00xFxF时，当lx0)(0xS2)()(lflf2)()(lFlFllllnllllnxlxnxflnxlxnxFlbxlxnxflnxlxnxFla.dsin)(1),2,1(,dsin)(1,dcos)(1),2,1,0(,dcos)(1其中傅里叶系数例3里周期延拓后的函数的傅解上展成傅里叶级数在将,)(xexf,)(上连续），（在ππxfππxxeπad10ππxnxnxeπadcos1,)1(12nπeeππn,][1|1ππππxeeπeπππxnxnxnneπcossin112(周期延拓傅里叶展开限制)xyoππ)(xfππ）内收敛到，叶级数在（ππxnxnxeπbdsin1傅里叶展式][1ππeeπxf.)1(121ππneenπn处，在πxππxnxnnxneπcossin112πxπ)]()([21πfπf].[21ππee注傅立叶级数收敛到12sincos1121nnnxnnxn2.将[0,l]上的函数展成正弦级数与余弦级数],0[)(lxxff(x)展成正弦级数奇延拓偶延拓lxoly周期延拓F(x)限制],0[lx(余)(展开)oxyll)(xfy1xyo例4将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解将f(x)作奇延拓及周期延拓.πxnxxπ0dsin)1(202cossincos2πnnxnnxnnxxππnπnππncoscos12),2,1(k(1)展成正弦级数.nb),2,1(kπx21xπsin)2(xπ2sin2xπ3sin32xπ4sin4注在端点x=0,,级数的和为0.1xyo故（与f(x)=x+1的对应值不同）(2)展成余弦级数.x1y将oπxxπ0d)1(2πxnxxπ0dcos)1(20222πxxπ02sincossin2πnnxnnxnnxxπ1cos22nn),2,1(k作偶周期延拓.121πxxcosx3cos312x5cos512注令x=0可得即ππ41212)12(14kkπxk)12cos(1yox为正弦级数)内容小结1.f(x)(周期:2l)的傅里叶展开式)(xf20a(x:连续点)其中xlxπnxfllldcos)(1xlxπnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n(f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.[-l,l]或[0,l]上函数的傅里叶展开延拓展开限制几点注记1.注意画图形.(便于发现奇偶性及间断点,写收敛域)2.计算傅里叶系数时,a0要单独算;3.[0,l]上函数的傅里叶展式不唯一.(延拓方式不同级数也不同)关于函数的傅里叶级数展开