高考圆锥曲线大题专练

1高考压轴大题突破练1．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．2．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝2PB→.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．3．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值？4．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．5.已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16及点F2(1,0)，在圆F1任取一点M，连接MF2并延长交圆F1于点N，连接F1N，过F2作F2P∥MF1交NF1于P，如图所示.(1)求点P的轨迹方程；(2)从F2点引一条直线l交轨迹P于A，B两点，变化直线l，试探究1|F2A|＋1|F2B|是否为定值.6.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(7，0)，A，B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A，B的动点，且△ADB面积的最大值为12.2(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当点P(x0，y0)在椭圆C上运动时，直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.7.已知抛物线C：y2＝2px(p0)，点A，B在抛物线C上.(1)若直线AB过点(2p,0)，且|AB|＝4p，求过A，B，O(O为坐标原点)三点的圆的方程；(2)设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π4，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标；若不是，请说明理由.8.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab≥1)的离心率e＝22，右焦点到直线2ax＋by－2＝0的距离为23.(1)求椭圆C的方程；(2)已知椭圆C的方程与直线x－y＋m＝0交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求m的取值范围.9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P62，12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过顶点A(－2，0)的直线l1交y轴于点Q，交曲线C于点R，过坐标原点O作直线l2，使得l2∥l1，且l2交曲线C于点S，证明：|AQ|，2|OS|，|AR|成等比数列.10如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.11.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点M(1,0)3与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.12.已知双曲线M：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝233，且S△ABF＝1－32.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.13.如图,椭圆E:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=错误!未找到引用源。.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.14.已知椭圆C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(ab0)的离心率e=错误!未找到引用源。,短轴右端点为A,P(1,0)为线段OA的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P任作一条直线与椭圆C相交于两点M,N,试问在x轴上是否存在定点Q,使得∠MQP=∠NQP,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.15.已知椭圆C:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a错误!未找到引用源。)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点N关于x轴的对称点为N1,且直线N1M与x轴交于点P,试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.416.已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．17.设12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且1||5||MNFN，求,ab．18.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：22221xyab（ab0）右焦点的直线x+y-错误!未找到引用源。=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．519.设抛物线C：22(0)xpyp的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点．（Ⅰ）若90BFD，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．6高考压轴大题突破练答案精析1．解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca，由d＝12c，得a＝2b＝2a2－c2，解得离心率ca＝32.(2)方法一由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝10.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8kk＋1＋4k2，x1x2＝k＋2－4b21＋4k2，由x1＋x2＝－4，得－8kk＋1＋4k2＝－4，解得k＝12，从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52x1＋x22－4x1x2＝b2－，由|AB|＝10，得b2－＝10，解得b2＝3，故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.方法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝12，因此直线AB的方程为y＝12(x＋2)＋1，7代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52x1＋x22－4x1x2＝b2－.由|AB|＝10，得b2－＝10，解得b2＝3，故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.2．解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝2，所以椭圆方程为y24＋x22＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即y2＋2x2＝4，y＝kx＋m，则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)0，由根与系数的关系知x1＋x2＝－2mk2＋k2，x1x2＝m2－42＋k2.又AP→＝2PB→，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴x1＋x2＝－x2，x1x2＝－2x22.∴m2－42＋k2＝－22mk2＋k22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝8－2m29m2－40，8得49m24，此时Δ0.∴m的取值范围为－2，－23∪23，2.3．解(1)当m＝1时，M(1,0)，此时点M为抛物线C的焦点．直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝4x，y＝x－1，消去y，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，所以圆心坐标为(3,2)．又|AB|＝x1＋x2＋2＝8，所以圆的半径为4，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.(2)由题意可设直线l的方程为x＝ky＋m，则直线l的方程与抛物线C：y2＝4x联立，消去x得，y2－4ky－4m＝0，则y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，1|AM|2＋1|BM|2＝1x1－m2＋y21＋1x2－m2＋y22＝1k2＋y21＋1k2＋y22＝y21＋y22k2＋y21y22＝y1＋y22－2y1y2k2＋y21y22＝16k2＋8mk2＋m2＝2k2＋m2m2k2＋，若1|AM|2＋1|BM|2对任意k∈R恒为定值，则m＝2，此时1|AM|2＋1|BM|2＝14.所以存在定点M(2,0)，满足题意．4．解(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a)．又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：9设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋a－bx1＋x2x1x2＝ka＋ba.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．5.解(1)∵F2P∥MF1，∴PF2MF1＝PNF1N⇒PF24＝4－PF14⇒PF1＋PF2＝4F1F2＝2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长2a