溆浦一中大汉班选拨考试数学试卷(答卷)参考答案

1溆浦县第一中学2012年大汉、校友班招生考试数学试题卷（参考答案）本试卷满分：100分考试时间：120分钟命题人：陈炜一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案BCADCABDCB二、填空题（每小题4分，共28分）1.2738a2.(7)(1)(1)(5)xxxx3.14xx或4.15.221316yxx6.9707.1三、解答题（本大题有5个小题，共42分）1.（本题6分）已知5tan12，求sincossincos的值解法一：如图，在RtABC中090,CA设5BCt，则12ACt2222(5)(12)13ABBCACttt5sin13，12cos13故，原式512171313=-5127-1313解法二：原式sin511tan117cos12sintan15711cos1213t12t5tCBA22.（本题6分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体。在这些小正方体中，求：（1）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（2）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数。解析：（1）512.0125641000512P（3分）（2）2)2(6nN（3分）3.（本题8分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,60ACD,点SPQ、、分别是ODOABC、、的中点。求证：△PQS是等边三角形。解：如图所示连接CS。∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO,CO=DO.∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=12BC.同理BP⊥AC.在Rt△BPC中，PQ=12BC.又SP是△OAD的中位线，∴SP=12AD=12BC.∴SP=PQ=SQ.故，△SPQ为等边三角形.4．（本题10分）某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个，经调查，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？解：设每个售价为x元，每日利润为y元。若x≥18时，销售量为60-5（x-18），每个利润为（x-10）元，那么每日利润为y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500,此时，售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元；……4分若x18时，销售量为60+10（18-x），每个利润为（x-10）元，那么每日利润为y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490,此时，售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元；……8分故每个商品售价定为20元时，每日利润最大。答：为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个20元。……10分35．（本题12分）已知二次函数2(3)3ymxmx(0)m的图象如图所示。（1）这条抛物线与x轴交于两点A1(,0)x、B2(,0)x12()xx，与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。2133(3)(1),1141ymxxxxABmmm解:（1）（）223,5905..................................64yxxOAMCRS解得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），BC=45，，，；分223:2:1,),332323()(2,3)........................................1030115:1:2,(,)......................24PBEBEDPBEBEDyxySSyxxxxPyySSP（）设PD与BC交点为E,P(x,y),当时可设E(x,得或舍去分当时同理可得......11115(2,3)(,)....................................................1224PP分故存在或分yxCBAMO