2.3.1双曲线定义与标准方程(2课时)

生活中的双曲线双曲线定义问题1:椭圆的定义是什么?和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,问题2:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？差等于常数的点的轨迹是什么呢？即:平面内与两定点F1、F2的距离的|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a2c；oF2F1M平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a0；双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a(2a2c)注意问题3:定义中为什么要强调差的绝对值？F2F112121,202______________________MFMFaaFF若则图形为12122,202______________________MFMFaaFF若则图形为双曲线右支双曲线左支问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？如果不小于|F1F2|，轨迹是什么？①若2a=2c,则轨迹是什么？②若2a2c,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在F2F1MxOy求曲线方程的步骤：1.建系:2.设点:设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)4.代入坐标:|MF1|-|MF2|=±2a5.化简:22222xcyxcya即3.找限制条件:2222()()2xcyxcya222222()2()xcyaxcy222()cxaaxcy22222222()()caxayaca122222acyax222bac令122222acyaxxyoacb在椭圆中222bca令在双曲线中F2F1MxOyacb得到焦点在x轴上的双曲线标准方程)0,0(12222babyax12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy222(00,)ababc，若建系时,焦点在y轴上呢?222cab方程焦点a.b.c的关系图形定义||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(0,±c)22221xyab22221yxabyxF2F1MyxoF2F1M焦点在X轴上焦点在Y轴上F(±c,0)焦点位置看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,xy问题5:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？例：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。cba,,)0,0(1412431222124122222222nmnymxyxyxyx116922yx12514422xy112222mymx答：在X轴。（-5，0）和（5，0）答：在y轴。（0，-13）和（0，13）答：在x轴。（-1，0）和（1，0）判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在正的的那个轴上。1.判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标和焦距。练习4、若M为双曲线上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，并且︱MF1︱=8,则︱MF2︱=.116922yx3、已知双曲线的方程为：，请填空：a=，b=，c=，焦点坐标为，焦距等于.1366422yx2、a=4，c=5的双曲线标准方程是？106820(-10,0)、(10,0)2或14191622yx191622xy或CByAx225、什么时候表示双曲线？A、B异号时什么时候表示椭圆呢？A≠B且A,B,C同号（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。22(2)1(0)?xymnmn是否表示双曲线表示焦点在轴上的双曲线；x00nm表示焦点在轴上的双曲线。y00nm表示双曲线，求的范围。m11222mymx221?21xymm若式子为呢总结提升1-2m问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab例题例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.变题1:将条件改为P到F1,F2的距离的差等于8,如何?变题2:将条件改为P到F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?小结：求标准方程要做到先定型，后定量。练习1:写出适合下列条件的双曲线的标准方程①.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)②.a=12,b=5③.a=4,过点(1,)4103:练习2求经过P(-7,-62)和Q(7,-3)两点的双曲线方程.22121212:1,,,49,90,.oxyFFMFMFFMF例2设双曲线是两个焦点点在双曲线上若求的面积:42,,,2sinsin2sin,,ABCABCACBC例3在中,已知AB且三内角满足建立适当的坐标系求顶点的轨迹,并求出轨迹方程.2222222221211.31_____.3192.(3,42)(,5),____411,42.5.44,,xykkkxyxyaaxyFFF是方程表示双曲线的条件已知双曲线过点和则双曲线方程为.3.椭圆与双曲线有相同焦点则a=__.4.设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差为6,则点P的轨迹方程为__________双曲线的左右焦点分别为过的直线交右支5,______.B1于A,B两点,若AB则AF的周长为练一练定义方程焦点a.b.c的关系x2a2-y2b2=1x2y2a2+b2=1F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2ax2a2+y2b2=1椭圆双曲线y2x2a2-b2=1F（0，±c）F（0，±c）课堂小结双曲线的定义双曲线的标准方程应用222cab方程焦点a.b.c的关系图象定义||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(0,±c)22221xyab22221yxabyxF2F1MyxoF2F1M焦点在X轴上焦点在Y轴上F(±c,0)如果我是双曲线,你就是那渐近线.如果我是反比例函数,你就是那坐标轴.虽然我们有缘,能够生在同一个平面.然而我们又无缘,慢慢长路无交点.为何看不见,等式成立要条件.难到正如书上说的,无限接近不能达到.为何看不见,明月也有阴晴圆缺,此事古难全,但愿千里共婵娟.请欣赏