正余弦定理的应用举例(好)

应用举例正余弦定理1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？2sinsinsinabcRABC===2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-复习巩固2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；余弦定理：两边与一角或三边.复习巩固题型分类深度剖析题型一测量距离问题问题1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量这两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝60o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为75.1米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7575.1()sin(1806075)sin45ABACACBABCACACBACBABABCABCm75.1例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ABCABCD解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在∆ADC和∆BDC中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin180()sinsinsin()sin180()aaACaaBC计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA两点的距离，求，，千米，定的距离，在河的这边测两点间、如图，为了测量河对岸课堂练习：ABCD30°45°30°60°分析：1.在△ABD中求AB2.在△ABC中求AB46AB练习选定两个可到达点C、D；→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大小；→利用正弦定理求AC和BC；→利用余弦定理求AB.测量两个不可到达点之间的距离方案：形成规律在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线,如例1中的AC，例2中的CD.基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高.形成结论解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解变式训练1如图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．解在△ABD中，设BD＝xm，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°，整理得x2－100x－9600＝0，解得x1＝160，x2＝－60(舍去)，故BD＝160m.在△BCD中，由正弦定理得：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，又AD⊥CD，∴∠CDB＝30°，∴BC＝160sin135°·sin30°＝802≈113(m)．即两景点B与C之间的距离约为113m.•实际问题中的常用角•(1)仰角和俯角•与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．题型二测量高度问题•2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；•(3)方位角•指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法例4、在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝75°，在塔底C处测得A处的俯角β＝45°。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC0,cossinsinsin()30cos45sin75sin(7545)=15+153(k)RtABDBCBDABBADm解得)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，151533015315(km)CDBDBC例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角30°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角30°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=30°,∠C=75°-30°=45°.根据正弦定理，CABABCsinsinsin5sin303.535().sinsin45ABABCkmCCD=BC×tan∠DBC≈BC×tan30°≈2041(m)答：山的高度约为2041米。探究提高在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．变式训练2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面的二面角的度数．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．返回