金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算

金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算2004级杨秋指导教师胡先权一.概要采用镜象法通过在金属球的中心处配置电荷q,然后求出对应的无穷镜像电荷系列,在其中引入叠加系数Cn,2c.这样可以精确的确定镜像电荷系列中任意电荷得位置和电量,从而精确的计算系统的电容.二.镜像电荷系列的配置首先我们先设定一个半径为R的金属球和一个无限大的接地的导体平板.球心和板的距离为D.在金属球球心处放置一个电荷+q1.由于它的影响,金属球和无限大导体平板的表面各点电势要势是相等的,所以以后放进去的镜像电荷的大小和位置要符合这个要求.DDRROM2qq1L2q2-q1L3q3L3-q3L2-q2规律：加在金属球的镜像电荷是+qn-1的时候，该电荷打破导体板上各点电势相等的条件，则在导体板右边对称点放进电量相等，电性相反的镜像电荷-qn-1.而-qn-1又打破了金属球表面电势相等的条件，从而在金属球内放进镜像电荷+qn.这样不断重复下去.先设定参数根据镜像法我们可以到:(1)(2)从(1)和(2)公式可以计算出任意镜像电荷的电量和位置。2RkD2112RqqkqD222RLkRD23121kqqk321kRLk112nnnRqqDL212nnRLDL三.分析对于距离Ln可以算出它和R于k的关系,列出部分在表格A中.可以看出分式Ln-1中的分母变成分式Ln中分子的一部分了，因此可以定义数列来标记Ln和qn的分母，记为bn.L1L2L3L4L50kR21kRk22(1)12kkRk224(12)13kkRkk表A•可以看出数列{bn}无论n是偶数还是奇数都只包含了k的偶次幂多项式,于是就定义数列中k的各幂次项前面为一个叠加系数Cn,2c.•根据数学工具计算出叠加系数的数值,带进金属球电量的表达式中得到:•而金属球电势仅仅取决于+q1,所以金属球电势:234561222424246782462468(111213143156.....)16104171510kkkkkqqkkkkkkkkkkkkkkkkkkk14qUR•由公式C=q/U可以得到金属球和无限大导体平板系统的电容的表达式:可以看出电容的大小与金属球半径R有关，也与金属球球心与无限大导体板的距离D或者参数k有关。只要给定R和距离D或者参数k就可以计算求得系统的电容至任意精度。234562224242467824624684(111213143156.....)16104171510kkkkkCRkkkkkkkkkkkkkkkkkkk结束感谢各位老师的聆听.谢谢胡先权老师在这期间的耐心帮助.