正余弦定理讲义

培优教育尊重个性因材施教1培优教育一对一辅导讲义科目：＿数＿＿年级：＿＿高一＿＿姓名：＿＿＿＿教师：＿＿＿＿时间：＿＿＿＿课题正弦定理、余弦定理授课时间：备课时间：教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3、会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际问题，会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三件函数值求角重点、难点1、三角函数值域及最值的求法2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题考点及考试要求高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题和填空题，也有可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型：1、可转化为)sin(xAy的形式，然后研究性质2、可转化为cxbxaysinsin2的形式，然后借助于二次函数求闭区间上的最值3、与向量、三角形知识结合的综合题4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题培优教育尊重个性因材施教2教学内容探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：sinA=casinB=cbsinC=1即c=sinsinsinabcABC.探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有sinsinCDaBbA,则sinsinabAB.同理，sinsinacAC（思考如何作高？），从而sinsinsinabcABC.探究三：你能用其他方法证明吗？1.证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=111sinsinsin222abCacBbcA.两边同除以12abc即得：sinaA=sinbB=sincC.2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴2sinsinaaCDRAD，同理sinbB=2R，sincC＝2R.3．证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得…..正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC=2R[理解定理]1公式的变形：2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:①CBA②CBACBAsin)cos(,sin)sin(③CabSabcsin21abcOBCADCRcBRbARasin2,sin2,sin2)1(CBAcbasin:sin:sin::)3(,2sin,2sin,2sin)2(RcCRbBRaABbCcCcAaBbAasinsin,sinsin,sinsin)4(培优教育尊重个性因材施教3三、教学例题：例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边解：例2CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解：例3在CAacBbABC,,1,60,30和求中，课后作业1奎屯王新敞新疆在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为()A奎屯王新敞新疆2RB奎屯王新敞新疆RC奎屯王新敞新疆4RD奎屯王新敞新疆R21(R为△ABC外接圆半径)2奎屯王新敞新疆在ABC中，已知角334,2245bcB，，则角A的值是()A.15B.75C.105D.75或153、在△ABC中,cbaBA::,60,30则若4、在ABC中，若14,6760abB，，则A=。培优教育尊重个性因材施教45、在ABC中，已知45,2,3Bba，解三角形。探究一．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB，从而ACacsinsin1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；3.如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30°；两解[随堂练习1]（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）培优教育尊重个性因材施教5例2.在ABC中,已知,coscoscosabcABC判断ABC的形状．[随堂练习2]1.△ABC中，CBA222sinsinsin，则△ABC为（A）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形2.已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形1.根据下列条件，判断解三角形的情况2.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D633.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.。，，求，，解这个三角形）（解这个三角形。和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：CAaBbcCcbBabcCBAbacabBAbaCAc,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.,,12,120,30)2(.,,30,45,10145.设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA．(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(BcbAbaAcaAba、、、、培优教育尊重个性因材施教6同步分层能力测试题（一）一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在△ABC中，若a=5,b=15,A=300,则边c=。2.在△ABC中，已知A=450，B=600，c=1，则a=.3.在△ABC中，已知a=5,b=12,c=13.最大内角为度。4.在△ABC中，已知b=4,c=8,B=300.则a=。5.a,b,c是△ABC的三边，且B=1200,则a2+ac+c2-b2的值为.6．在△ABC中，若a=50，b=256,A=45°则B=.7.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④sinsinsinabcABC.其中恒成立的等式序号为_______________.8．在ABC中，cba,,分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量,,pacb,qbaca，若向量//pq，则角C的大小为。二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.在△ABC中，a=3，c=33，A=300，则角C及b.10.在ABC中，⑴已知：acosB=bcosA,试判断ABC形状;⑵求证：2222cos2cos211ABabab。（1）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3=0，求角C的度数，边c的长度.12.在△ABC中，已知角A、B、C对应的边分别为a、b、c，．且C=2A．cosA=43(1)求cosC和cosB的值；(2)当227BCBA时，求a、b、c的值．培优教育尊重个性因材施教7余弦定理①a2＝b2＋c2－2bc·cosA，②b2＝c2＋a2－2ca·cosB，③c2＝a2＋b2－2ab·cosC.(4)余弦定理的变式cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab.正余弦定理考点考点一：利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，(1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.知识概括、方法总结与易错点分析1．已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．3．三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．针对性练习在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.培优教育尊重个性因材施教8考点二：利用正、余弦定理判断三角形形状典型例题△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形知识概括、方法总结与易错点分析依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．针对性练习：已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．考点三：三角形面积公式的应用典型例题已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．求tan2A；(2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．知识概括、方法总结与易错点分析1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．培优教育尊重个性因材施教9针对性练习：在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．考点四：正、余弦定理的综合应用典型例题：在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的分别为a、b、c，且cos2A＝35，sinB＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a、b、c的值．知识概括、方法总结与易错点分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理