信号的抽取与插值

信号的抽取与插值许多数字信号处理应用中，一个系统中会存在不同采样频率的信号，称这样的系统为多速率信号处理系统数字音频：广播、数字压缩光盘和数字音频磁带使用的采样率不同，音频系统中经常需要在几种不同的采样率之间转换多媒体通信，所传输的信号包括音频、视频和数据等不同类型的信号，这些信号的带宽相差很大，因此它们的采样率也不同增加信号采样率的运算叫内插(interpolation)或上采样(up-sampling)降低采样率的运算叫抽取(decimation)或下采样(down-sampling)多速率信号处理系统的核心内容是信号采样率转换与滤波器组整数因子抽取整数因子插值采样率的分数倍转换抽取和插值的多相滤波器结构主要内容1整数因子抽取)(nx1D)(mxD把原序列每隔个点抽取一个点组成一个新序列DmxmxD其中，D为正整数↓D)(nx)(mxD051015202530-1-0.500.51InputSequenceTimeindexnAmplitude0123456789-1-0.500.51Outputsequencedown-sampledby3AmplitudeTimeindexn抽取后是否会丢失信息？)(mxD)(nx为此分析序列与原序列之间的频谱关系)(nxsf)(mxDDfs/)2/(Dfs以因子D进行抽取后不产生混叠的频率范围为2/sf如果要采样不产生混叠，则的频率限制在以内)(nx的频率分量如果x(n)中含有大于)2/(Dfs必然产生频谱混叠，导致不能从中恢复)(mxD)(nx0)(nxn...123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9...0)(nDn...123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9...0)(nxintn...123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9...0)(Dmxm...123-1-2-3...nDDnnxnx其它0,......2,,0)()(int)()()()()(intnnxiDnnxnxDi其中)()(iDnniD)()()(intDmxDmxmxDnnmDmDzDnxzmxzX)()()(DnnnnznxzDnx/intDint)()(的整数倍是由于n不是D的整数倍时)(intnx=0DnDnDnnDznnxznxzX)()()()(/int)(01110niDniDnWDDnrDDrDnnrDDrnDzWDnxzX101)()()(1])[(1110110DrDDrnDrDnDrzWXDzWnxD)e(1)e(2j10jDrDrDXDX)e(jDX可见，抽取序列的频谱是原序列频谱D倍展宽后按（2）的整数倍位移并叠加而成0)e(jXππ2ππ2π41π40)e(2/jXππ2ππ2π41π40)e(2/)2j(Xππ2ππ2π41π40)e(jDXππ2ππ2π41π42抽取产生频谱混叠为保证抽取后不丢失信息，应该保证抽取后信号的频谱不发生混叠，所以在抽取前对信号的频谱应该加以限制。如果在抽取前先用一数字低通滤波器（滤波器的带宽为/D,对x(n)进行滤波，使得DX/π||0)e(j则按因子D抽取后信号频谱不会发生混叠序列抽取不发生混叠的Nyquist条件)(nx)(mxD↓D)e(jDH其他0/π|||)e(|jDDHD0)e(jXππ2ππ2π41π4π3π30)e(3/jXπππ61π60)e(3/π)2j(Xπ21π4π6π60)e(3/π)4j(X1π6π6π2π40)e(3/jDXπππ61π632整数因子插值nIImImxmxI其它0,......2,,0)/()()(nxsf)(mxIsIf)(nx)(mxI↑InnmImIzInxzmxzX)/()()(0)(nxn1230m123567894)(mXIm0123567894)(mXI)(a)(b)(c)()(InInzXznx)e()e(jjIIXX内插后信号频谱被压缩了I倍0)e(jXππ2ππ20)e(jIXπ2ππ2ππ0)e(jIXππ2ππ2π/Iπ/I/I/I（a（（（（（b（（（（c（（（（)e(jIX)e(jX中不仅包含的高频成分还含有大于/I的基带部分为了能从中得到基带信号，需要通过低通滤波消除内插带来的镜像。)e(jIX低通滤波器的幅度响应为其他0/||1|)e(|jIHI)(nxI)e(jIH()()ymxm0)(nxn1230m123567894()Ixmm0123567894()Ixm)(a)(b)(c插值可以提高时域分辨率3采样率的分数倍转换假设输入输出信号采样率的转换因子为DIR/可以通过将D抽取与I插值结合来实现为了保证不丢失信息，分数倍采样率转换应先插值后抽取)(nxI)e(jIH)e(jDHD)(my)(kssSIffsSfDIf)/(Sf)(a)(b)(nxI)e(jHD)(my其他0]/π,/πmin[|||)e(|jDIDH)e(jH[例]在图示系统中，已知输入信号x(n)的采样率为4kHz，其频谱幅度如图所示。试确定该系统中的I、D和幅度特性，使输出信号y(m)的抽样频率为5kHz)(nxI)e(jHD)(my解：由于输出信号比输入信号的抽样频率提高了5/4倍，所以R=5/4取I=5，D=40|)(|jeX18.08.0024.0116.056.064.096.016.096.0|)(|jIeX0|)(|jeY164.064.0(a)(b)(c)π||π16.00π16.0||4|)(|jeH7.4多抽样率系统的多相滤波结构)(nx)(mxD↓D)e(jDH)(nxI)e(jIH)(my先滤波后抽取先插值后滤波对运算速度的要求相当高7.4.1抽取器与插值器的恒等变换恒等变换1↓D1()xn2()xn1()ym↓D↓D1()xn2()xn()ym2112恒等变换2两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加12↑I↑I()xn↑I2()xn1()ym2()ym2()ym1()ym1信号分别定标以后的插值等于它们各自插值后再分别定标恒等变换3↓D()xn()ymDz2()ym↓D()xn1z信号延迟D个样本后作D倍抽取和先作D倍抽取再延迟一个样本是等效的'()()xnxnD'()()DXzzXz证明：设则x’(n)y’(m)11'101()()()DrDDDrYzXzXWzD11101()()DrDrDDDDrWzXWzD11101()DrDDrzXWzD'()()()DymxmxDm2()'(1)ymym12()()YzzYz1101()()DrDDrYzXWzD1111201()()()DrDDrYzzYzzXWzD12()()YzYz恒等变换4↑I()xn1z()ym↑IIz()ym()xn信号经过单位延迟后作I倍插值和先作I倍插值再延迟L个样本是等效的)(1)(110DrDDrDzWXDzX)(1)(1101DrDDrzWXDzV)()(1)()()(11011DrDDrzWXzHDzVzHzY)()()(2zXzHzVD)(])[(1)(11102DrDDDrDDrzWXzWHDzY)(nx)(1my↓D)(zH)(nx)(2my↓D)(DzH)(2nv)(1mv1rDDW)()(1)()(1)(1101102DrDDrDrDDrzWXzHDzWXzHDzY因为所以)()(21zYzY将信号按D因子抽取后再经过滤波器H(z),等价于将信号先经过滤波器H(zD),再按D因子抽取恒等变换5)(nx)(3my↑I)(IzH)(nx)(4my↑I)(zH)(4mv)(3nv)()(IIzXzX因为)()()(3zXzHzV)()()()(33IIIzXzHzVzY)()(4IzXzV)()()()()(44IIIzXzHzVzHzY)()(43zYzY将信号先经过滤波器H(z)后再按I因子内插，等价于将信号按I因子内插后再经过滤波器H(zI)恒等变换67.4.2抽取和插值的多相滤波器结构nnznhzH1111DDllDllDllzDDlhzDlhzDlhDllDDllDllzDDlhzzDlhzzDlh11)1(1令1,,1,0,DjzjDlhzEllj则DjDjjzEzzH10多相分量I型多相分解jenhDnjDjDjjzEzzH10)(nx)(my)(DzE0D1z1z)(DzE1......)(DDzE11z)(nx)(1my↓D)(zH)(nx)(2my↓D)(DzH)(2nv)(1mv)(nx)(my)(zE0D1z1z)(zE1......)(zED11zDD先滤波后抽取先抽取后滤波降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力减小运算误差的积累，提高运算精度降,低对字长的要求,每一支路上滤波器的阶数只有H(z)阶数的1/D)(nx)(mxD↓D)e(jDHnnznhzH1111IIllIllIllzIIlhzIlhzIlhIjIjjzEz10jIj1令IjIIjjIzEz110)1(定义zEzRjIj1IjIjjIzRzzH101II型多相分解适合于插值IjIjjIzRzzH101)(nx)(my)(0IzRI1z1z)(1IzR.........)(1IzRI1z)(nxI)(jIeH)(my)(nx)(3my↑I)(IzH)(nx)(4my↑I)(zH)(4mv)(3nv)(nx)(my)(zR01z1z)(zR1......)(1zRIIII1z...先插值后滤波先滤波后插值每一支路上滤波器的阶数只有H(z)阶数的1/I降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力减小运算误差的积累，提高运算精度,降低对字长的要求