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数学建模实验报告1辽宁工程技术大学上机实验报告实验名称酵母培养物的离散阻滞增长模型院系理学院专业理科实验班级姓名学号日期2015.4.20实验目的简述本次实验目的：掌握酵母培养物的阻滞增长差分方程模型的分析与建模方法，并会利用Matlab作数值计算与误差分析.实验准备你为本次实验做了哪些准备：上课听讲，下课复习课本，不明白之处查阅资料。实验进度本次共有1个练习，完成1个。实验总结日本次实验的收获、体会、经验、问题和教训：教师评语陈瑞颖：数学建模习题四2具体处理过程和相应实验结果：已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：时刻/h0123456789生物量/g9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.7441.0时刻/h101112131415161718生物量/g513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8实验要求：1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.2、建立酵母培养物的增长模型.3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.实验内容：1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.（1）增长数据：绘制x关于k的散点图：x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];k=0:1:18;plot(k,x,'k+')xlabel('时间k（小时)')ylabel('生物量x（克）')title('x关于k的散点图')0246810121416180100200300400500600700时间k（小时)生物量x（克）x关于k的散点图即x关于k的散点沿s型曲线分布，x随着k单调增加，x可能趋于稳定值，极限可能存在。（2）增长率：绘制x差值关于k的散点图以及绘制x差值关于x的散点图：数学建模实验报告3xk=[8.7,10.7,18.2,23.9,48,55.5,82.7,93.4,90.3,72.3,46.4,35.1,34.6,11.4,10.3,4.8,3.7,2.2,0];k=0:1:18;subplot(1,2,1);plot(k,xk,'k+')xlabel('时间k（小时)')ylabel('一阶差分xk（克）')title('xk关于k的散点图')xk=[8.7,10.7,18.2,23.9,48,55.5,82.7,93.4,90.3,72.3,46.4,35.1,34.6,11.4,10.3,4.8,3.7,2.2,0];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];subplot(1,2,2);plot(x,xk,'k+')xlabel('生物量xk（克)')ylabel('一阶差分xk（克）')title('xk关于x的散点图')051015200102030405060708090100时间k（小时)一阶差分xk（克）xk关于k的散点图02004006008000102030405060708090100生物量xk（克)一阶差分xk（克）xk关于x的散点图观察x差值关于k的散点图，难以发现二者的近似而简单的函数关系。观察x差值关于x的散点图，发现二者近似二次函数关系△xk=-a1*xk^2+a2*xk;,实质就是离散阻滞增长模型。（3）相对增长率：绘制rk差值关于k的散点图以及绘制rk关于xk的散点图：rk=[0.90625,0.5847,0.62759,0.50636,0.67511,0.46599,0.47365,0.363,0.25749,0.16395,0.090395,0.62712,0.058171,0.018112,0.016074,0.0073721,0.0056411,0.0033354,0];k=0:1:18;陈瑞颖：数学建模习题四4subplot(1,2,1);plot(k,rk,'k+')xlabel('时间k（小时)')ylabel('增长率rk（%）')title('rk关于k的散点图')rk=[0.90625,0.5847,0.62759,0.50636,0.67511,0.46599,0.47365,0.363,0.25749,0.16395,0.090395,0.62712,0.058171,0.018112,0.016074,0.0073721,0.0056411,0.0033354,0];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];subplot(1,2,2);plot(x,rk,'k+')xlabel('生物量xk（克)')ylabel('增长率rk（%）')title('rk关于x的散点图')0510152000.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间k（小时)增长率rk（%）rk关于k的散点图020040060080000.10.20.30.40.50.60.70.80.91生物量xk（克)增长率rk（%）rk关于x的散点图观察rk关于k的散点图，难以发现二者的近似而简单的函数关系。观察rk关于xk的散点图，发现二者近似线性递减关系rk=r*(1-xk/N);由rk=(x(k+1)-x(k))/x(k),代入上式，建立离散阻滞增长模型。2、建立酵母培养物的增长模型.在营养有限的环境下，假设用前差公式计算的增长率rk随着生物量xk的增加而线性递减，即rk=rk=(x(k+1)-x(k))/x(k)=r*(1-x(k)/N),k=0,1,2…..根据模型假设，即可建立离散阻滞增长模型x(k+1)=x(k)+r*x(k)*(1-x(k)/N),k=0,1,2,…数学建模实验报告53、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.首先，根据rk和xk的数据拟合出r(k)=r*(1-x(k)/N)的参数r和N，拟合效果图如1.（3）-1图所示。然后根据观测数据直接取x0=9.6，用循环语句按照x(k+1)=x(k)+r*x(k)*(1-x(k)/N),k=0,1,2,…进行迭代计算，算出第0~18小时酵母生物量的模拟值，，并计算误差平方和，绘制模拟效果图和模拟误差图。用matlab编程如下：t=0:18;x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];r=(x(2:19)-x(1:18))./x(1:18);a1=polyfit(x(1:18),r,1);r1=a1(2),N1=-a1(2)/a1(1)x1=x(1);fork=1:18x1(k+1)=x1(k)+r1*x1(k)*(1-x1(k)/N1);endresd1=x-x1;sse1=sum(resd1.^2)subplot(2,1,1),plot(t,x,'k*',t,x1,'ks')axis([-1,19,0,670]),legend('观测值','模拟值',4)xlabel('时间k（小时）'),ylabel('生物量x_k（克）')title('（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，线性拟合')subplot(2,1,2),plot(t,resd1,'k.',[-1,19],[0,0],'k')axis([-1,19,-40,40]),legend('观测值','模拟值',4)xlabel('时间k（小时）'),ylabel('模拟误差')title('（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，线性拟合')结果：r1=0.6693N1=635.7055sse1=6.2932e+03陈瑞颖：数学建模习题四60246810121416180200400600时间k（小时）生物量xk（克）（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，线性拟合观测值模拟值024681012141618-40-2002040时间k（小时）模拟误差（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，线性拟合观测值模拟值4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.用matlab编程如下：函数文件fun_3_4_2.m：functiony=fun_3_4_2(b,x)y=zeros(size(x));y(1)=b(3);fork=2:length(x)y(k)=y(k-1)+b(1).*y(k-1).*(1-y(k-1)./b(2));end脚本：t=0:18;x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];[a2,resd2]=nlinfit(t,x,@fun_3_4_2,[0.5,660,9.6])sse=sum(resd2.^2)subplot(2,1,1)plot(t,x,'k*',t,fun_3_4_2(a2,t),'ks')axis([-1,19,0,670])legend('观测值','模拟值',4)xlabel('时间k（小时）'),ylabel('生物量x_k（克）')title('（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，非线性拟合')subplot(2,1,2)plot(t,resd2,'k.',[-1,19],[0,0],'k')axis([-1,19,-40,40])xlabel('时间k（小时）'),ylabel('模拟误差')title('（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，非线性拟合')数学建模实验报告7结果如下：a2=0.5604652.463414.9997resd2=-5.3997-4.9118-6.7562-7.4948-11.6748-4.1746-4.70215.134111.840610.87271.0384-14.2442-17.8488-4.1982-3.06402.48075.13937.88769.6673sse=1.3535e+030246810121416180200400600时间k（小时）生物量xk（克）（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，非线性拟合观测值模拟值024681012141618-40-2002040时间k（小时）模拟误差（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，非线性拟合5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.方法一能够用离散阻滞增长模型模拟酵母培养生物量的变化趋势，前半段的误差很小，但后半段的误差很大，误差平方和很大。另外，最大容量N的估计值偏低。总之，方法一的模拟效果不够令人满意。方法二能够更好地用离散阻滞增长模型模拟酵母培养生物量的变化趋势，误差平方和比方法一明显下降。另外，最大容量N的估计值也比方法一更合理。总之，方法二的模拟效果比较令人满意。方法一和方法二的误差都存在共同的现象——分布不够随机。连续多个误差都取相同的符号。