奥数四年级—数列问题

一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚说完，一位小男孩立即写出了答案。1+2+3+4+......+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是男孩的算法......小故事数列问题数列问题先看：1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+++++++++10=11+2+++++++9+=11++3+++++8++=11+++4+++7+++=11++++5+6++++=1111×5=55（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；（一）数列的基本知识数列问题1+2+3+4+5+6+7+8+9+10首项:1末项:10项数:101、2、3、4、5、6、7、8、9、10等差数列的主要内容（一）等差数列的基本知识（二）等差数列的公差（三）等差数列的项数数列问题（四）求等差数列的某一项（五）等差数列的和（六）有公差的等差数列的和1+2+3+4+5+......+100=？小故事数列问题男孩的算法：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，第三个数加倒数第三个数的和也是101，……共有100÷2=50对这样的数，用101×50=5050。高斯的才华使老师——十分激动。德国数学家高斯1+++++++++100=101+2+++++++99+=101++3+++++98++=101+++4+++97+++=101（二）等差数列的—公差（1）1、2、3、4、5、6……2-1=1,3-2=1......公差=1（2）2、4、6、8、10、12……4-2=2,6-4=2......公差=2（3）5、10、15、20、25、30......10-5=5,15-10=5......公差=5通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。数列问题（三）求等差数列项的数量数列问题例已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。等差数列的项数=公差个数+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（17-2）÷3+1=6（四）等差数列—某一项数列问题等差数列的通项公式：等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项+公差×1（2-1）第3项：5=1+2×2首项+公差×2（3-1）第4项：7=1+2×3首项+公差×3（4-1）第5项：9=1+2×4首项+公差×4（5-1）第6项：11=1+2×5首项+公差×5（6-1）等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项=2公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=293数列问题求等差数列—某一项数列问题（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+++++++++10=11（组合）+2+++++++9+=11（组合）++3+++++8++=11（组合）++++5+6++++=11（组合）11×5=55+++4+++7+++=11（组合）连续数列，求和公式：=（首项+末项）×（总项数÷2）=（1+10）×（10÷2）=11×5=55（五）等差数列的求和数列问题问题：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=？？1+++++++++19=20（组合）+3+++++++17+=20（组合）++5+++++15++=20（组合）20×5=100+++7+++13+++=20（组合）=（首项+末项）×（总项数÷2）（六）有公差的等差数列的求和++++9+11++++=20（组合）20=(首相+末项)5=有5个组合总项数=（末项-首项）÷公差+1=(19-1)÷2+1=5（组合）×（组合的数量）组合的数量=总项数÷2例1、计算1+2+3+…+2006公式：(首项+末项)×(项数÷2)=(1+2006)×(2006÷2)=2007×1003=2013021练习1+++++++++2006=2007+2+++++++2005+=2007++3+++++2004++=2007+++4+++2003+++=2007......每个组合的和=2007有几个组合呢？？2006÷2=1003个组合所以总和=2007×1003=2013021例1、计算1+2+3+…+2006直接列公式：=(首项+末项)×(项数÷2)=(1+2006)×(2006÷2)=2007×1003=2013021练习首项=1,末项=2006总项数=2006,公差=1例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前1999项的和。练习首项=3，末项=？？不知道，要先求!总项数=1999，公差=53,8,13,18,23,28，.....解：第1项=3第2项=3+(5×1)=8第3项=3+(5×2)=13第4项=3+(5×3)=18第5项=3+(5×4)=23第6项=3+(5×5)=28......第1999项=3+(5×1998)=9993例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前1999项的和。练习首项=3，末项=9993总项数=1999，公差=53,8,13,18,23,28，.....9993解：求和公式=(首项+末项)×(项数÷2)=(3+9993)×(1999÷2)=9996×999.5=9991002例3、计算11+15+19+......+99。直接列公式：=(首项+末项)×(项数÷2)=(11+99)×(23÷2)=110×11.5=1265练习解：首项=11,末项=99总项数=(末项-首项)÷公差+1总项数=(99-11)÷4+1=23公差=15-11=4例4、计算(2+4+6+...+96+98+100)-(1+3+5+...+95+97+99)练习解题思路一：本题由两个数列组成第一个数列：(2+4+6+...+96+98+100)第二个数列：(1+3+5+...+95+97+99)(2+4+6+...+96+98+100)=(2+100)×(50÷2)=102×25=2550(1+3+5+...+95+97+99)=(1+99)×(50÷2)=25002550-2500=50例4、计算1991-1988+1985-1982+...+11-8+5-2练习解题思路一：=(1991-1988)+(1985-1982)+...(11-8)+(5-2)=3+3+...+3+3问题来了？这里共有多少3呢？？首先，问自己共有多少个项？？？不看+，-号2,5,8,11...1982,1985,1988,1991这个数列：首项=2，末项=1991，公差=5-2=3项数=(1991-2)÷3+1=663+1=664组合后有几个3呢？？664÷2=3323×332=9961、计算2+4+6+…+96+98+100课后练习项数=（末项-首项）÷公差+1等差数列求和=（组合）×（组合的数量）2、求首项是5，末项是95，公差是3的等差数列的和。3、求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。4、计算（1）4000-1-2-3-…-76-77-78（2）560-557+554-551+…+500-497（3）204-198+192-186+…+24-18+12-6课后练习5、计算（1+3+5+…+1999）-（2+4+6+…+1998）1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+…+25+26+27-28课后练习让您的天赋燃烧起来人的天赋就像火花，它既可以熄灭，也可以燃烧起来。而使它燃烧成熊熊大火的方法只有一个，就是学习，再学习。高尔基奥数学习的途径只有一个,那就是解题,解题,再解题，做题，做题，再做题柳绪颖谢谢!祝学习步步高升!