概率论与数理统计习题7解答

习题七解答7.1.设nXXX,,,21为抽自二项分布B(m,p)的样本试求p的矩估计和极大似然估计。解:（1）求p的矩估计。),(~pmBX，因此总体的一阶原点矩为npEX1按矩法估计有XXnmpnii11因此p的矩估计mXpˆ（2）求p的极大似然估计。参数P的极大似然函数为niXmXXmiiippCpL1)1()(niiniiiXnmXnixmppC1)1(1)(lnpL)1(ln)(lnln111pXmnpXCniiniinixmi令dppLd)(ln0)(11111niiniiXmnpXp即0)()1(XnmnpXnp由此得P的极大似然估计mXpˆ7.2设总体为指数分布其概率密度函数为.,0;0,)(其它xexfx求参数的矩估计和极大似然估计。解设nXXX,,,21为X的一个样本。（1）求的矩估计。因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为11EX按矩法估计有XXnnii111因此的矩估计X1（2）求的极大似然估计。参数λ的极大似然函数为Leexinnxiiin11lnL=nxiinln1似然方程为ln()Lnxiin1=0解得nxxiin117.3设总体为],0[上的均匀分布求参数的矩估计和极大似然估计。解设nXXX,,,21为X的一个样本。（1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为2)(001dxxdxxxfEX按矩法估计有Xnnii1121因此的矩估计X2ˆ。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为其它，0;,,2,1,0,1)(niXLin.0};,,max{,11其它，nnXX由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须},,max{1nXX所以的极大似然估计为},,max{ˆ1nXX7.4设总体为]2,[上的均匀分布求参数的矩估计和极大似然估计。解：设nXXX,,,21为X的一个样本。（1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为32)(221dxxdxxxfEX按矩法估计有Xnnii1132因此的矩估计23ˆX。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为其它，0;,,2,1,2,1)(niXLin.0};,,max{,11其它，nnXX.0};,,max{2},,,min{,111其它，nnnXXXX由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须},,max{211nXX所以的极大似然估计为},,max{21ˆ1nXX7.5假设nXXX,,,21为来自正态总体),(2N的样本，其中已知，求2的极大似然估计。解似然函数为niixL1222)(21exp21)(121222212ninixexp()于是lnlnln()Lnnxiin222122221似然方程是02)(21ln12242niinxL解得2的极大似然估计量为niixxn122)(17.6设总体的概率密度函数为.,0;0,1)(其它xexfx（这是指数分布的另一种形式）.从该总体中抽出样本321,,XXX,考虑的如下四种估计11ˆX2/)(ˆ212XX3/)2(ˆ213XXX4ˆ(1)这四个估计中，哪些是的无偏估计？（2试比较这些估计的方差。解：(1)因为321,,XXX是从总体中抽出的样本，所以11ˆEXE][21][21]2/)[(ˆ21212EXEXXXEE]2[31]2[31]3/)2[(ˆ21213EXEXXXEE][31][31]3/)[(ˆ3213214EXEXEXXXXEXEE因此4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆ都是的无偏估计。(2)211ˆDXD2222121221][41][41]2/)[(ˆDXDXXXDD95]4[91]4[91]3/)2[(ˆ21213DXDXXXDD2222321321431][91][91]3/)[(ˆDXDXDXXXXDXDD由上述各式知：1324ˆˆˆˆDDDD。7.7一个电子线路上电压表的读数X服从]1,[上的均匀分布,其中是该线路上电压的真值,但它是未知的，假设nXXX,,,21是此电压表上读数的一组样本，(1)证明样本均值X不是的无偏估计。(2)求的矩估计，证明它是的无偏估计。解：（1）因为nXXX,,,21是总体的一组样本，所以][1]/)[(321321EXEXEXnnXXXEXE2122122122121n因此样本均值X不是的无偏估计。(2)令212X得的矩估计为21ˆX因为212122121XEXE所以21ˆX是的无偏估计。7.8设21ˆˆ和都是的无偏估计，且211)ˆ(Var，222)ˆ(Var，构造一个新无偏估计10ˆ)1(ˆ21c，cc如果21ˆˆ与相互独立,确定c使得)ˆ(Var达到最小。解：因为21ˆˆ和都是的无偏估计，所以)1(ˆ)1(ˆ21ccccEE因此ˆ是的无偏估计。又因为211)ˆ(Var，222)ˆ(Var，21ˆˆ与相互独立，所以21ˆ)1(ˆ)(ccVarVar=)ˆ(12Varc22221222)1()ˆ()1(ccVarc当222122c时，可使得)ˆ(Var达到最小。7.9从工厂产品库中随机抽取16只零件，测得它们的长度(单位：厘米)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设零件长度分布为),(2N，试分如下两种情况求的置信系数为0.90的置信区间：(1)2201.0；(2)2未知。解：(1)因为总体)01.0,(~2N，对给定数据经计算可得，X=2.125，n=16，对于置信系数0.9，可查标准正态分布表，得临界值65.12/z，于是所求置信区间为)1601.065.1125.21601.065.1125.2()(2/2/，nZX，nzX=129.2,121.2(2)对给定数据经计算可得，S=0.017，因为总体服从正态分布，n=16，所以nSXT/~t(15)，对于置信系数0.9，可查t分布表，得临界值75.12/t，于是所求置信区间为)16017.075.1125.216017.075.1125.2()(2/2/，nStX，nStX=(2.117,2.133)7.10要比较两个汉字录入软件A和B的性能，考虑它们对于录入速度的影响。确定一篇文档，随机挑选10名有3年工作经验但都没有使用过A和B的女性打字员，并请她们抽取使用A和B的顺序，使得5先用A，另5人先用B然后交换，记录下她们录入文档所用的时间(单位：分钟)如下：A：12.4,7.6,10.7,13.1,11.2,8.5,10.9,10.3,11.2,8.4B：12.9,10.9,11.2,10.8,12.2,11.6,10.7,10.5,13.1,11.6假设使用两种软件的录入时间分别服从正态分布)61,(21。N和)21,(22。N.求21的置信系数为0.9的置信区间.(请读者思考：为什么要抽取5先用A,另5人先用B？)解：对给定数据经计算可得，43.10AX，55.11BX，置信系数为0.9，可查标准正态分布表，得临界值65.12/z，又因为63.0102.1106.1222221nm于是所求置信区间为nmzXXnmzXXBABA22212/22212/,)08.0,16.2(63.065.112.1,63.065.112.1(7.11甲、乙两组生产同种导线，现从甲组生产的导线中随机抽取4根从乙组生产的导线中随机抽取5根，它们的电阻值(单位：欧姆)分别为甲组：0.143,0.142,0.143,0.137乙组：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140,假设两组电阻值分别服从正态分布),(21N和),(22N,其中2未知试求21的置信系数为0.95的置信区间.解：首先我们查t分布表得362)254(2/。t，对给定数据经计算可得，139201413021。X，。X，22222100228.0,00287.0SS，所以2)1()1(22212nmSnSmSw22200231025400228.0)15(00236.0)14(。故所求的二总体均值差μ1-μ2的99%置信区间为51410.002312.360.1392)-(0.1413514100231.036.2)139201413.0(，。=)006.0,002.0(7.12某市随机抽取1000个家庭,调查知道其中有228家拥有小汽车.试据此数据求该市拥有小汽车家庭比例p的置信区间，取置信系数为0.95.解：n=1000，nY=228，228.0ˆnYpn，96.12/Z所求置信区间为nppZp/)ˆ1(ˆˆ2/=1000/)228.01(228.096.1228.0=026.0228.0=[0.202,0254]7.13根据实际经验可以认为，任一地区单位时间内(如一天或一个月或一年)火灾发生次数服从泊松分布)(P，若以月为单位，从公安局记录得知，某城市过去120个月(即10年)火灾发生月平均次数为7.5次，试求该城市火灾月平均次数的置信系数为0.95的置信区间.解：n=120，5.7X，96.12/Z所求置信区间为nXZX/2/=120/5.796.15.7=49.05.7=[7.01,7.99]