正交多项式一

第七章函数逼近用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差)()()(xpxfxR称为逼近的误差或余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题函数逼近问题的一般提法：对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B(A)中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。最常用的度量标准：(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差)()(max],[xpxfbax作为度量误差f(x)－p(x)的“大小”的标准在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近对于任意给定的一个小正数0，如果存在函数p(x)，使不等式)()(maxxpxfbxa成立，则称该函数p(x)在区间[a,b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。(二)平方逼近：采用dxxpxfba2)]()([作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。§1正交多项式一、正交函数系的概念考虑函数系1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-,]上的积分都等于0！我们称这个函数中任何两个函数在[-,]上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nxnxxxsin1,cos1,,,sin1,cos1,21那么这个函数系在[-,]上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的)1．权函数定义7.1设(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)(x)≥0，对任意x[a,b]，(2)积分存在，(n=0,1,2,…)，dxxxnba)((3)对非负的连续函数g(x)若badxxxg0)()(则在(a,b)上g(x)0称(x)为[a,b]上的权函数2．内积定义7.2设f(x)，g(x)C[a,b]，(x)是[a,b]上的权函数，则称badxxgxfxgf)()()(),(为f(x)与g(x)在[a,b]上以(x)为权函数的内积。内积的性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0f=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交性定义7.3设f(x)，g(x)C[a,b]若badxxgxfxgf0)()()(),(则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交。定义7.4设在[a,b]上给定函数系，若满足条件)(),1,0,(,0,0)(),((是常数kkkjAkjkjAkjxx则称函数系{k(x)}是[a,b]上带权(x)的正交函数系，若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权(x)的n次正交多项式。特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。二、常用的正交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式定义7.5称多项式)2,1,0,11()cosarccos()(nxxnxTn为n次的切比雪夫多项式(第一类)。切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权211)(xx的正交多项式序列。且0,0,2,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm(2)递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：),2,1()()(2)()(,1)(1110nxTxTxxTxxTxTnnn(3)奇偶性：切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。)()1()cosarccos()1()coscarcos()]arccos(cos[)(xTxnxnnxnxTnnnn(4)Tn(x)在区间[-1,1]上有n个不同的零点),,2,1(,2)12(cosnknkxk(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1个不同的极值点),,2,1,0(cosnknkxk使Tn(x)轮流取得最大值1和最小值-1。(6)切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。定理7.1在-1≤x≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中)(21)(~1xTxTnnn与零的偏差最小，且其偏差为121n即，对于任何，有)()(xHxpn0)(max0)(~max2111111xpxTxnxn2．勒让德(Legendre)多项式定义7.6多项式),2,1,0(])1[(!21)(2nxdxdnxpnnnnn称为n次勒让德多项式。勒让德多项式的性质：(1)正交性勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1,1]上带权(x)=1的正交多项式序列。nmnnmdxxpxpnm1220)()(11(2)递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：),2,1()(1)(112)()(,1)(1110nxpnnxxpnnxpxxpxpnnn(3)奇偶性：当n为偶数时，pn(x)为偶函数；当n为奇数时，pn(x)为奇函数。(4)pn(x)的n个零点都是实的、相异的，且全部在区间[-1,1]内部。3．其它常用的正交多项式(1)第二类切比雪夫多项式定义7.7称),2,1,0(1]arccos)1sin[()(2nxxnxun为第二类切比雪夫多项式。①{un(x)}是在区间[-1,1]上带权函数21)(xx的正交多项式序列。②相邻的三项具有递推关系式：),2,1()()(2)(,2)(,1)(1110nxuxxuxuxxuxunnn(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义7.8称多项式),2,1,0()0(),()(nxexdxdexLxnnnxn为拉盖尔多项式。①{Ln(x)}是在区间[0,+∞]上带权(x)=e-x的正交多项式序列。。nmnnmdxxLxLenmx,)!(,,0)()(20②相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),()()21()(,1)(,1)(12110nxLnxLxnxLxxLxLnnn(3)埃尔米特(Hermite)多项式定义7.9称多项式),2,1,0(),(),()1()(22nxedxdexHxnnxnn为埃尔米特多项式。的正交多项式序列。①{Hn(x)}是在区间(-,+)上带权函数2)(xexnmnnmdxxHxHennmx,!2,0)()(2②相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),(2)(2)(2)(,1)(1110nxnHxxHxHxxHxHnnn§2最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义7.10设函数f(x)是区间[a,b]上的连续函数，对于任意给定的0，如果存在多项式p(x)，使不等式)()(maxxpxfbxa成立，则称多项式p(x)在区间[a,b]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f(x)。维尔斯特拉斯定理若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则对于任意0，总存在多项式p(x)，使对一切a≤x≤b有)()(xpxf§3最佳平方逼近1．函数系的线性关系定义7.11若函数，在区间[a,b]上连续，如果关系式当且仅当时才成立，则称函数在[a,b]上是线性无关的，否则称线性相关。)(,),(),(10xxxn0)()()()(221100xaxaxaxann0210naaaa)()()()(1100xaxaxaxSnn)(,),(),(10xxxn设是[a,b]上线性无关的连续函数a0,a1,…,an是任意实数，则},,,{Span10n)(,),(),(10xxxn并称是生成集合的一个基底。的全体是C[a,b]的一个子集，记为),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,,(10111010100010nnnnnnnnnGG定理7.3连续函数在[a,b]上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式Gn0，其中2．广义多项式设函数系{，…}线性无关，)(,),(),(10xxxn)()(0xaxSjujj则其有限项的线性组合称为广义多项式。二、函数的最佳平方逼近定义7.12对于给定的函数，若n次多项式],[)(baCxfjnjjxaxS0**)(满足关系式dxxSxfdxxSxfbaPxsban2)(2*)]()([min)]()([则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式。定义7.13对于给定的函数],[)(baCxf如果存在},,,{)(10*nSpanxS使dxxsxfxdxxSxfxbaxSba2)(2*)()()(min)()()(则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的最佳平方逼近函数。求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数使多元函数)()(0**xaxSjnjj**1*0,,,naaadxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),,,(取得极小值。I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0kaI(k=0,1,2,…,n)0)()()()(20dxxxaxfxaIkjnjjbak得方程组),,2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj最小二乘！如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk方程组可以简写为),,2,1,0(),(),(0nkfakjjnjk写成矩阵形式为),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10101011100101000nnnnnnnnfffaaa法方程组！由于0,1,…,n线性无关，故Gn0，于是上述方程组存在唯一解。),,1,0(*nkaakk从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是)()(0**xaxSjujj三利用正交多项式进行最小二乘拟合将选为带权的正交多项式系)(xi)(xdxxaxdxxxfxbakkbak)()()()()(222),(),(),()()()()()(kkkkkbakbakkrffdxxxdxxxfxa