正交多项式

主要内容：正交多项式的构造；常用的多项式；一致逼近的基本概念；最佳一致逼近多项式；均方逼近的基本概念；最佳均方逼近多项式；最小二乘曲线拟合的基本概念；用正交多项式作最小二乘曲线拟合。第六章函数逼近与拟合（FunctionApproximationandInterpolation）函数逼近问题：在实际应用中常需为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量意义下最小。曲线拟合问题：在实际应用中，往往并不需要多项式通过给定的数据点，而只要求用多项式近似代替列表函数时，其误差在某种度量意义下最小。第六章函数逼近与拟合（FunctionApproximationandInterpolation）第六章函数逼近与拟合（FunctionApproximationandInterpolation）6.1正交多项式()[,],0,1,0,()d()0,)0()()(jmbanjmnxxaxbxmxnxx对于定义在区间上的一个函数系，如果其中任何两个函数在此区间上的积分为零，而他们之中每个函数自乘的积分不等于零，即，则称此函数系为在此区间上关于权正交函数的函数系。(()d)1()bnnaxxxx规范的正交函数当时称之为；当此函数系中的每一个函数均为多项式时称之为系正交多项式（系）。[,]0,coscosd,02,0cossind00,sinsind,0mnmnmnmnmxxxnxnnmnmnxxxxmxxnxxxx如在区间上的正交函数系1,cos,sin,cos2,,con,sin,中，6.1正交多项式(OrthogonalMultinomial)6.1正交多项式(OrthogonalMultinomial)01011()()()()[,]()0,11()(()()),1,2jjjjjjQxabQxQxQxQxQxjxxxj：为了构造在给定区间上关于权函数1的正交多项式系,,，可用递推方法正交多项式的构,造221()()d0,1,,1,2d,0,1bajjjjjbjajjdddQxxxjjxxjdQ其中,,,,正交多项式的构造1110002111,(())()()()()QxQjxxxdxQxd如01000001110102222212ddd()d()()()((ddd)d)bbaabbaabbaabbaaxxxxxxxxxxQxQxQxddddddxQxxxx其中，,，Example6.11,14在区间上构造正交多项式。011102211()(),1,2d0,1,,1,2d,0(,1)()()()()()()jjjjjbjajjjjbjajjQxQxQxQxQxxxjddxxjjxjddQxQx解：由递推方法,其中,,,,Example6.1111410042222000011dd35d1d43/485()())8(()bbaaxxxxQxQxQxxxddxx解：，11141141111012222111102259d()d82565()dd59/25638,9/25683/464()()()553511()()()886443()()()2bbjaadQxQxQxQxQxxxxxxxxxxxxxxdxjdQd，为次多项式cos,0cos()cos(arc)()cosnnxxnTxn切比：设则称为（第一类雪夫多项式切比雪夫）阶多项式。12210,1,[1,1]()()()()1101d010kmnTxTxTxmnkxxxxmnmn2：,在区间上关于权函数是正交多性质1切比雪夫多项式项式系，，即，，1.正交多项式(OrthogonalMultinomial)0111()()(0,1,12,1,2)()()()kjjjTxTxTxTxTxTxkxxj：,具有下列三项递推关系,性质2切比雪夫多项式11()(2(2))nnnnnnTxTxnnxx：阶是一个次代数多项式,且其最性质3切比雪夫多高次幂项的系数为。项式首一（为多项式）切比雪夫多项式[1,1][1,1]21,1,2,,221cos,()(1),2,,2nkknTkknnkknnnxxxnT：阶在区间上满足1，且在区间上有性质4切比雪个零点即夫多项式切比雪夫多项式[1,1],0,1,,cos,0,()1ˆ1,,kknkknnkTxknxnnn：阶在区性质5切比雪夫多项式间上有个峰值点即11111111[1,1]2max0max0,1max()()()()()(2)nxxnxnnnnnnPxTxxxPxPnx：在区间上所有的次中，对零的偏差最小，即定理6-1首一且多项式切比雪夫多项式0110()([1,1]1)()(2)()nnfxfxTxTaxxaTa切比雪夫级：定义在区间上的函数数可以展开成01[1,1][1,1]()()(2)1kkkfxfxaTax当函数在上有连续导数时，在上是绝对、一切比雪夫级数致收敛的，且1.正交多项式(OrthogonalMultinomial)cos121021d12d0,1,()()(cos)coskkxaxxfxTxfkk其中Example6.2切比雪夫级数(1)用计算函数的近似值。11210()()(cos[1,1]41221cosd0,1,(4)1)kkkkkafxfxTxTxxxxxkxaa解：设函数切比雪夫级中，数，则其22102112122()()(01,2,1221cosd0,1,41)()kkknkkknxTxfxTxxkxkaaTxaa当为奇数时，为奇数,，其中，Example6.220121021cosd()41kxxaTxxa解：如果要求精确到小数点后第九位，1211210-133()d0322121cosd41232cos11.703283757342fxxfxxaffxx利用三点高斯切比雪夫求积公式（第七章中）可求得Example6.212222121(21)cosd41233221cos10.1483581213242xaxxx解:1422142421(881)cosd4123332881cos1322420.001921449xxxxxaExample6.2164226461221(3248181)cosd4123333323248181cos1222420.000009965xxxxxxa解:80.000000028a类似求出最后一个不为零的系数Example6.20111()()(0,1,)()()(12,1,2)kjjjkxTxTxTxTxTxTxxj解：,具有下列三项递推关系,切比雪夫多项式234210321432543654253642221243288()()()()()()()()()()(121)()()()6205232481)8(1xxxxxxxxxxTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxxxxTxTxxTxxxExample6.202122426641cos420.8516418780.1483581210.0019214490.0000099650.9999994720.3084232530()()()(.0158499130.0003188)(70)kkkfxTxTxTxxxaTxaxx解：[,]22[,],[,]()()21)12(fxxtxtxttffFabbabaabbaba：对于定义在一般区间上的函数，可以先作如下变换即在区间上变注化时在区间上变化,可利用切比雪夫级数()kkTxx：与之间存在线性变换关系，所以对于一个函数的逼近多项式，可利用来找一个次数较低的线性变换关系切比新的近似多项式，雪夫多项式切且满足相同的比雪夫多项式精度要求。T0=11=T0T1=xx=T1T2=2x2-1x2=(T0+T2)/2T3=4x3-3xx3=(3T1+T3)/4T4=8x4-8x2+1x4=(3T0+4T2+T4)/8()kkTxx与之间存在的线性变换关系1.正交多项式(OrthogonalMultinomial)Example6.3(2)用来降低逼近多切比雪夫多项式项式的次数。23456[1,1]01111126241200.0038()720()()xxfxfxExexxexxxxxex解：设函数，如果对其在点处作幂级数有限项展开作近似代替，即此五次多项式替代的误差为01021302413511()(3)42411(34)(105)1)92190(2TTTTTTTTTfxTTT现利用切比雪夫多项式和幂函数的线性变换关系Example6.30123450123812171317116419248384192192081217131764192483()(4)8fxfxTTTTTTTTTT进一步近似解：[1,1]1110.005819219200.0()nTx在区间上此时由省去的最后两项增加的误差即用三次多项式替代的总误差为0.0096，仍不超过1。2233(21)81217131764192483(841(38239320868)3)34()48xxxxfxxxx线性变换关系2[,]1d[(1)]2!()1d1nnnnnnPxxnx勒让德多项式的构造勒让德(L：在区间上定义egendre函数称为阶)多项式110,1,[,]10d22()()(11)1()mknxmkPxPnmPxnnxx：,在区间上关于权函数是正交函数系，，即，性质1勒让德多项式()nnxnP性质2勒让：当为偶/奇数时，阶为偶德多项式/奇数。1.正交多项式(OrthogonalMultinomial)1101()()()()()(0,1,1(1)(21),1)(),2[,1]1nnnnkPxnnnPxPxPxPxPxnkxxxnnnP：,具有下列递推关系，,显然阶是一个次代数多项式，且性质3勒让德多在区间上项式勒有个不同的让德多项式实零点。22(2),2()d[(1)](2)()d[,(1]1)nnnnnnnnnnnnxPxxPx性质4勒让德多项式勒让德首一多项式!：阶最高次项的系数为!!阶，!且在区间上与零的平方误差最小。勒让德多项式(LegendreMultinomial)第六章习题pp192~193，习题6:1.;