完美六边形研究综述

2011年9月22日1/41完美六边形研究综述赵勇（安徽省六安市金安区东桥镇东桥希望小学，237162）摘要：完美六边形是由我国著名的平面几何专家叶中豪先生定义的一种特殊六边形，具有十分丰富的性质.本文系统地总结了20余年来，我国多位几何爱好者在完美六边形研究中所取得的成果.这些成果除了极少数曾在刊物公开发表外，大多散见于“东方论坛——数学版块”的一些讨论帖中，内容十分零乱.本文将这些内容系统化，形成一个体系，并在文中介绍了完美六边形研究的新进展以及一些未解决的难题.关键词：完美六边形基本三角形拿破仑定理破镜重圆对称三角形垂足六边形密克点黄利兵点内点不动点对合反演对合不动点完美八点组完美十六点组猜想1990年左右，我国著名的平面几何专家叶中豪先生在与南京师范大学单墫教授的通信中引入了完美六边形的概念.从此欧氏几何的大花园里又多了一朵美丽的小花，而且这朵小花是在中国这片神奇的土地上生根、发芽，并茁壮成长起来的.20余年来，在广大几何爱好者的精心培育下，这朵小花终于长成奇葩，并结出颗颗硕果.本文将和读者朋友们一起走近这朵奇葩，去欣赏美丽的花朵，去品尝美味的果实.同时期待着您也来为它装扮，让它变得更加绚丽多姿.本文是集体智慧的结晶，是二十年磨一剑.§1基本性质定义1平面六边形ABCDEF的顶点在复平面上对应的复数分别是a、b、c、d、e、f，如果有1affeeddccbba.（1）成立.则称六边形ABCDEF是完美六边形.本文以下用相应的小写粗体字母表示复平面上的点以及该点所对应的复数.完美六边形可以是凸六边形（如图1），也可以是凹六边形（如图2）或折六边形（如图3），还可以有部分顶点共线的退化情形（如图41）.根据复数的意义，（1）式可以分解为以下两式：arg180affeeddccbba.（2）1affeeddccbba.（3）其中条件（2）式是与完美六边形的角有关的，而条件（3）式则反映了完美六边形边长之间的关系.我们可以根据复数运算的意义，把（2）、（3）两个复数式用纯几何的形式表示出来.周界不自交的多边形叫做简单多边形，简单多边形分为凸多边形与凹多边形两种（参见（[1]：P26）.关于简单多边形为完美六边形的条件，有如下定理：2011年9月22日2/41FEDCBAABCDEF图1图2定理1简单六边形ABCDEF是完美六边形的充要条件是：360ECA；（4）1FAEFDECDBCAB.（5）两式同时成立.证只证ABCDEF是凸六边形的情形，凹六边形情形证明方法类似.1、必要性.假设凸六边形ABCDEF是完美六边形.由于cbbaarg表示向量CB沿逆时针方向转到向量BA方向所转过的角度，如图1，显然有cbbaarg=B180.同理，有eddcargD180，affeargF180.∴FDB540cbbaarg+eddcarg+affearg=argaffeeddccbba360k360180k)(Zk，（6）∵ABCDEF是凸六边形，∴5400FDB，∴（6）式中的2k，得360FDB，∴360ECA，即（4）式成立.FAEFDECDBCAB1affeeddccbba，即（5）式成立.2、充分性.与必要性类似，略.2011年9月22日3/41FEDCBAFEDCBA图3图4要注意的是：定理1中的角是指多边形的内角，在图2所示的凹完美六边形中，A指的是优角的度数，而不是劣角的度数.定理1中的条件（5）对于折完美六边形也是成立的.但由于在折多边形中不太方便定义内角，所以条件（4）叙述起来较为麻烦.而我们根据复数运算的意义，由（2）式不难找到相应的角，这里就不再单独列出了.仅举一例，如图3所示的折完美六边形中，记A、C为相应的劣角的度数，E为相应的优角的度数，则有条件（2）式即等价于360ECA.在后面一些定理的证明中，我们也往往只证明完美六边形是凸六边形时的情形，其它情形的证明在本质上并无差别.但要是都分类予以详细讨论的话，将会显得非常繁琐.南开大学的黄利兵老师将定义1中的（1）式写成行列式的形式：0111fccfebbedaad.显然互换上面这个行列式的任意两行，行列式的值都不变.所以得到如下的定理2只要保证完美六边形的三对对顶点不变，而只改变点对的连接方式，则得到的六边形仍是完美六边形.叶中豪将定理2称为完美六边形的基本定理.1991年湖南岳阳的萧振纲先生在文[2]中用纯几何方法证明了如一个定理：定理3（如图4）在任意△ACE的三边上作△CDE、△EFA、△ABC.若（i）1FAEFDECDBCAB；（ii）++=360则=+，=+，=+EAF，且CBACEAFEDBFD，EDCEACBAFDBF，AFEACEDCBFDB，其中三角形可以是退化的.关于这个定理的证明除了可以查阅上面的文[2]，还可以查阅[3]：P378~380.定理3中是有向角的符号（参见[4]的P9~12），本文中将多次用到这一符号，而仍以表示通常角的符号.不难知道这里的六边形ABCDEF就是一个完美六边形，定理3其实给出了定理2的一个纯几何的2011年9月22日4/41证明，并且指明了完美六边形中角之间的关系.在图4中我们共可以找到4个完美六边形：ABCDEF、ABFDEC、ACBDFE、AECDBF.所以完美六边形的主体是三对对顶点.定义2有共同对顶点的四个完美六边形，我们称为相伴随的完美六边形.为了使大家看得更清楚，在图5中我们把这四个完美六边形分开来画.FEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBA1()2()3()4()图5定义3从完美六边形的三组对顶点中各取一个为顶点构成的三角形，称为该完美六边形的基本三角形.没有公共顶点的两个基本三角形称为是相对的基本三角形.显然，任一完美六边形有8个基本三角形，分为4对.由于基本三角形这一概念只与完美六边形的顶点有关，所以对于相伴随的4个完美六边形而言，它们的基本三角形是相同的.如图4，4对基本三角形分别是：ABF和DEC，ABC和DEF，AEF和DBC，DFB和ACE.对两个相对的基本三角形而言，对应的两个顶点是指这两个顶点恰是完美六边形的一对对顶点.对应顶点所对的边称为对应边.§2从拿破仑定理说起任何有价值的概念或理论的形成，都不会是某个天才凭空想象的产物，一定有其产生的背景.本节拟对完美六边形相关概念的形成做些介绍，就从著名的拿破仑定理说起.FEDCBAF'E'D'CBA图6图72011年9月22日5/41拿破仑定理如图6，以任一ABC的三边为底向外作等边三角形，这三个等边三角形的中心D、E、F构成一个新的等边三角形，DEF称为外拿破仑三角形.如图7，如果等边三角形向形内作，则三个等边三角形的中心'D、'E、'F也构成一个等边三角形，'''FED称为内拿破仑三角形.内、外拿破仑三角形的基本性质：性质1内、外拿破仑三角形的面积差等于原三角形的面积.性质2内、外拿破仑三角形的中心重合，且恰是原三角形的重心.拿破仑定理以及性质1、2的证明可参阅[5]：P71~74.从后面我们将看到，许多进一步的研究（包括完美六边形中的一些概念和性质），都是对这两个性质的类比、推广或延伸.F'E'D'FEDCBAMP3P2P1FEDCBA图8图9拿破仑定理的一种等价叙述是：如图8，以ABC的各边为底边向形外（内）作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形，构成的等边三角形称为外（内）拿破仑三角形.图8中的六边形AFBDCE和ECDBFA其实就是两个特殊的完美六边形.如果将图8中的等腰三角形替换为一般的三个顺相似的三角形，即以ABC的各边为底边向形外（或内）作三个顺相似的三角形（如图9），这一构形称为三相似形.著作[4]的第18章专门讨论这一构形的性质.这章中的一个重要结果是：“任意三个对应点的重心为M（其中M为原来三角形重心）.”（参见[4]：P270.）即在这一构形下，以任意三个对应点为顶点的三角形的重心是定点.显然这一定理是对上面性质2的一种推广.P3P2P1C3C2C1B3B2B1A3A2A1OO31O23O12P3P2P1图10图112011年9月22日6/41接着，著作[4]进一步研究了平面上一般的三个顺相似图形（不局限于三角形，但下面以三角形来说明）的相互关系.如图10，P1、P2、P3是顺相似CBA111、CBA222、CBA333中的三个对应点.作出三个相似三角形两两间的相似不动点（退化情形不论，相似不动点的概念可见[4]：18~20页）：O12是CBA111与CBA222的不动点，依此类推.OOO312312被称为“相似三角形”（见[4]最后一章的§518）.而对于三个任意的相似对应点P1、P2、P3总能在平面找到一个定点O，使得PPO3223∽OOO3112，PPO1331∽OOO1223，PPO2112∽OOO2331（如图11所示）.本文中，符号∽和∽分别表示顺相似和逆相似，当无需区分相似的方向时，仍用∽表示.其实，此时POPOPO223331112恰构成一个完美六边形.而O点事实上也是该三相似图形的特征点；换言之，只要O12、O23、O31和O这四点给定了，整个三相似图形的结构也就确定了（可称其为“完备特征组”）.可遗憾的是著作[4]中并没有描绘出这个重要的O点，更没有给出其名称.从下面的§4中我们将会看到，这个特殊点就是完美六边形的一个内点.顺便说一点，如图10，一般情形下PPP321的重心G并不是定点.那么何时重心G才是定点呢？对于这一有趣的问题，1999年左右叶中豪和曹纲就解决了，并建立了相关的理论.但这些在此就不赘述了.拿破仑定理的另一个有意思的推广，叶中豪称之为“破镜重圆”[6]，下面就来介绍这一趣题.P0F0E0D0F'E'D'FEDCBA图12“破镜重圆”题如图12，在平面上取定FED000和一个点P0.在任意ABC周围依次作BCD∽PEF000，CAE∽PFD000，ABF∽PDE000.求证：DEF∽FED000.这一命题的纯几何证明可见[3]：P379~380.文[7]则给出了两种复数证法.显然当FED000是正三角形，且P0是FED000中心时，本题就成为拿破仑定理.我们称FED000是DEF的控制三角形，而将P0点称为DEF的控制点.拿破仑三角形有内、外之分，类似的在“破镜重圆”中，如果将相似三角形都作成逆相似的，或者说分别作D、E、F各点关于ABC对应边的对称点得D、E、F，则FED∽FED000.图12中的AFBDCE就是一个完美六边形.反之给定完美六边形AFBDCE，我们可以作出DEF的控制FED000和控制点.交换ABC和DEF的地位，我们还可以作出ABC的控制三角形和控制点.所以图12中的完美六边形是个一般意义下的完美六边形，从这一构图出发用几何画板来探索完美六2011年9月22日7/41边形的性质，往往更容易控制.§3对称三角形、垂足六边形在图12中，DEF和FED的对应顶点分别关于ABC的三边是对称的.据此给出下面的定义：定义4对于两个相对的基本三角形，从第一个基本三角形的每个顶点向第二个基本三角形的对应边作对称点，则以三个对称点构成的三角形称为第一个基本三角形的对称三角形.交换两个基本三角形的地位，就得到第二个三角形的对称三角形.在“破镜重圆”中，FED就是DEF的对称三角形，显然它们是反向相似的.而前面说过，图12中的完美六边形具有普遍意义，这样就得