第2章确知信号

通信原理第二章确知信号(大部分属于“信号与系统”知识)在任何时间其取值都是确定的和预知的信号，正弦波严谨严格求实求是我们重点讲对以后有用的知识点一、常用付立叶变换及性质（最好记住）二、能量谱密度和功率谱密度（难点，也是考研重点）三、相关函数与自相关函数（后面的章节要用到）频域特性时域特性严谨严格求实求是第2章确知信号确知信号的类型按照周期性区分：周期信号：T0－信号的周期，T00f0=1/T0非周期信号按照能量区分：能量信号：能量有限，功率信号：归一化功率：平均功率P为有限正值：tTtsts),()(0dttsE)(022/2/2)(1limTTTdttsTP2222/IVRIRVP2222/IVRIRVP)(tsdttsE)(2能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于严谨严格求实求是付立叶变换付立叶变换的定义简单来说，付里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。也就是说，把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，是将函数向一组正交的正弦、余弦函数展开。dtetftfFti)()]([)(FdeFFtfti)(21)]([)(1F严谨严格求实求是付立叶变换付立叶原理的意义任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的付立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和付立叶变换算法对应的是反付立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，付立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用付立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。严谨严格求实求是一、常用付立叶变换及性质1、常用付立叶变换（最好记住）tδ(t)ω1t1ω2πδ(ω)严谨严格求实求是常用付立叶变换(续)t0cos)]()([00tω-ω0ω0t0sin)]()([00j?RETURETO41严谨严格求实求是常用付立叶变换(续))(tD)2(Satω1即是脉冲宽度的倒数为宽带就够了，第一个过零点的位置作tttSa/sin)(严谨严格求实求是周期函数的付立叶变换(重要)ntjnneCtf)(成付立叶级数任何周期信号都可分解])]([ntjnneCtfF[F]ntjnneCF[)(2nCnn严谨严格求实求是周期冲激信号的付立叶变换tδT(t)T2T3T-3T-2T-TωΩδT(ω)0Ω-Ω2Ω-2ΩT2其中严谨严格求实求是2、付立叶变换的几个重要性质（需记住）)(tf若，则)(F)(0ttf0)(tjeFtjetf0)()(0F)()(21tftf)()(21FF)()(21tftf)()(2121FFttf0cos)()]()([2100FF严谨严格求实求是1、“归一化能量”和“能量信号”的概念为了分析简便、统一，我们令负载为1欧姆，这样无论是s(t)是电压还是电流，其作用在负载上的能量都可记为二、确知信号的频域性质——能量谱密度和功率谱密度称为归一化能量,)(2dttsE若一个信号的归一化能量不是无穷大，则称之为能量信号，如单个门函数τt严谨严格求实求是2、“功率信号”和“归一化功率”的概念若一个信号的在整个时间域内的能量是无穷大的，则称之为功率信号，如周期的门函数。其平均功率为称为归一化功率,)(lim2/2/2TdttsPTTTTdttsPtsT02)()(则为周期信号若严谨严格求实求是3、巴塞伐尔(Parseval)定理)(ts若能量信号，则)(fSdffSdtts22)(21)(即信号能量E)(),)(tsts且肯定也是功率信号为周期信号若，则)(fSNnTTCdttsT22/2/2000)(1即信号功率P严谨严格求实求是如果用语言描述巴塞伐尔定理就是：一个能量信号的能量等于信号的付立叶变换的模值的平方在频率域内的积分一个周期（功率）信号的功率等于信号的各级付立叶级数的模值的平方和上面红色字体描述的内容体现了能量（或功率）在频率域的分布的情况，于是，我们引入“能量（或功率）谱密度”的概念dffS2)(21NnC2严谨严格求实求是4、功率信号的频谱周期性功率信号频谱（函数）的定义式中，f0＝1/T0，n为整数，-n+。－双边谱，复振幅(2.2－4)|Cn|－振幅，n－相位)12.2()(1)(2/2/200000TTtnfjndtetsTnfCC)22.2()(0/2nTntjneCts)32.2()(12/2/0000TTdttsTCnjnneCC直流分量严谨严格求实求是周期性功率信号频谱的性质对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即Cn的模偶对称Cn的相位奇对称)52.2()(1)(1*2/2/202/2/20000000nTTtnfjTTtnfjnCdtetsTdtetsTCn102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅谱102345-2-1-3-4-5nn(b)相位谱*2/2/202/2/20000000)(1)(1nTTtnfjTTtnfjnCdtetsTdtetsTC严谨严格求实求是将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到式中式(2.2－8)表明：1.实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1时)和各次谐波(n=1,2,3,…)。2.实信号s(t)的各次谐波的振幅等于3.实信号s(t)的各次谐波的相位等于4.频谱函数Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅之半。)82.2(/2cos/2sin/2cos)(102201000/20nnnnnnnTntjnTntbaCTntbTntaCeCtsnnab/tan122nnba2221nnnbaC称为单边谱。严谨严格求实求是若s(t)是实偶信号，则Cn为实函数。因为而所以Cn为实函数。)Im()Re()2sin()(1)2cos()(1)]2sin()2)[cos((1)(12/2/02/2/02/2/002/2/20000000000nnTTTTTTTTtnfjnCjCdttnftsTjdttnftsTdttnfjtnftsTdtetsTC0)2sin()(2/2/000TTdttnfts严谨严格求实求是【例2.1】试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：0T-TtVs(t)tTtstsTttVts),()()2/(2/,02/2/,)(TncTVnfTnfVnfjeeTVenfjVTdtVeTCnfjnfjtnfjtnfjnsinsin22110002/22/22/2/202/2/20000nntnfjtnfjneTncTVeCts0022sin)(Cn严谨严格求实求是【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。T-Tt0Vs(t)tTtstsTttVts),()(,00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000严谨严格求实求是【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。由式(2.2-1)：由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。t1s(t)ttftsttts)1()(10)sin()(10222/2/2)14(2)sin()(10ndtetdtetsTCntjTTtnfjnnntjents221412)(严谨严格求实求是5、能量谱密度频谱密度的定义：能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭，因dtetsfSftj2)()(dfefStsftj2)()()()(,)()(22fSfSdtetsdtetsftjftj严谨严格求实求是【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。设它的傅里叶变换为矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/)Hz。2/02/1)(tttga)(sin)sin()(21)(2/2/2fcffeefjdtefGfjfjftja1(b)Ga(f)t0(a)ga(t)Ga(f)ga(t)f1/2/-2/-1/0图2-5单位门函数－单位门函数dtetsfSftj2)()(严谨严格求实求是【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。函数的定义：函数的频谱密度：函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。00)(1)(ttdtt1)(1)()(2dttdtetfftjf(f)10t(t)0严谨严格求实求是函数的性质1：函数可以用抽样函数的极限表示：因为抽样函数有这样的性质：式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。（见左图）和下式比较：可见即抽样函数的极限就是函数。1)(dtktsakttt)(lim)(ktsaktk1)(dtt)(lim)(ktsaktk严谨严格求实求是函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度1)(1)()(2dttdtetfftjf(f)10t(t)0严谨严格求实求是函数的性质3：【证】因为物理意义：可以看作是用函数在t=t0时刻对f(t)抽样。由于单位冲激函数是偶函数，即有(t)=(-t)，所以式(2.2-30)可以改写成：dttttftf)()()(00)()()()()(0000tfdttttfdttttfdttttftf)()()(00严谨严格求实求是函数的性质4：函数也可以看作是单位阶跃函数的导数。单位阶跃函数的定义：即u(t)=(t)用函数可以表示功率信号的频谱密度。10t图2-8单位阶跃函数0,1,0,0)(tttu当当严谨严格求实求是6、功率谱密度定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2tT/2sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有将定义为信号的功率谱密度P(f)，即dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1l