第2章第7节2 事故树定性定量分析

第三部分事故树的定性分析一、事故树的数学描述事故树的结构函数结构函数——描述系统状态的函数。xi=1表示事件i发生（i=1,2,…,n）0表示事件i不发生（i=1,2,…,n）y=1表示顶事件发生0表示顶事件不发生X=(x1,x2,…,xn)事件状态函数——顶事件状态—y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系统的结构函数顶事件的状态取决于各基本事件则Φ(X)=T=M1+M2=x1M3+x2M4=T=x1(x3+x4x5)+x2(x4+x3x5)练习1：写出如下事故树的结构函数T=(x1+x2x3)(x3+x4)T.M1M2M3.++X1X4X5X2X3练习2：写出如下事故树的结构函数T=(x1+x2)(x3+x4)+x5x6x7二、利用布尔代数化简事故树布尔代数布尔代数也叫逻辑代数，是一种逻辑运算方法。其变量中有1和0两种取值，表示某个事件存在与否或真与假的一种状态。①结合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交换律A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）1、布尔代数的运算规则④等幂律A＋A＝AA·A＝A⑤吸收律A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互补律A＋A´＝１A·A´＝０⑦对合律（A´）´＝A⑧德·莫根律（A＋B）´＝A´·B´（A·B）´＝A´＋B´2、化简事故树T=(x1+x2)(x1x3)T=(x1+x2)(x1x3)=x1x1x3+x1x2x3T=(x1+x2)(x1x3)=x1x1x3+x1x2x3=x1x3等效事故树练习1：化简该事故树，并做出等效图T=x1Mx2=x1(x1+x3)x2=x1x1x2+x1x3x2=x1x2等效事故树练习2：化简该事故树，并做出等效图T=x1x2+x2x3x4+x1x4等效事故树三、最小割集1、割集和最小割集割集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都发生时，顶事件必然发生。如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。也就是导致顶事件发生的最低限度的基本事件组合。也可以说，最小割集是引起顶事件发生的充分必要条件。2、最小割集的求法布尔代数化简法行列法•布尔代数化简法事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。2、最小割集的求法布尔代数化简法行列法•行列法行列法是1972年由富赛尔(Fussel)提出的，所以又称富塞尔法。从顶事件开始，按逻辑门顺序用下面的输入事件代替上面的输出事件，把与门连接的事件横向列出，把或门连接的事件纵向排开。这样逐层代替，直到各基本事件，列出若干行，最后再用布尔代数化简，其结果即最小割集用布尔代数化简法和行列法求最小割集T=x1+x2+x3+x4x7+x5x7+x6+x8{x1};{x2};{x3};{x4,x7};{x5,x7};{x6};{x8}x1x4M5x4x6M2M4M5x4x7x5M5x5x6TM1x6x5x7行列M6M3x8x2x3T=x1+x2+x3+x4x7+x5x7+x6+x8{x1};{x2};{x3};{x4,x7};{x5,x7};{x6};{x8}等效事故树练习：用布尔代数化简法和行列法求该事故树的最小割集T=x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x5x6x7径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发生时，顶事件必然不发生。如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，这样的径集就称为最小径集。也就是不能导致顶事件发生的最低限度的基本事件组合。也可以说，最小径集是保证顶事件不发生的充分必要条件。1、径集和最小径集四、最小径集2、最小径集的求法最小径集的求法是将事故树转化为对偶的成功树，求成功树的最小割集即事故树的最小径集。画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树2、求成功树的最小割集3、原事故树的最小径集成功树T′=x1′x2′x3′x4′x5′x6′x8′+x1′x2′x3′x6′x7′x8′′′T=（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x8）（x1+x2+x3+x6+x7+x8）{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x8};{x1,x2,x3,x6,x7,x8}练习：1、求其最小割集2、画成功树3、求成功树的最小割集4、原事故树的最小径集5、画出以最小割集表示的事故树的等效图6、画出以最小径集表示的事故树的等效图T=x1x5+x1x6+x1x7+x2x5+x2x6+x2x7+x3x4x5+x3x4x6+x3x4x7成功树T=(x1+x2+x3)(x1+x2+x4)(x5+x6+x7)五、最小割集和最小径集的在事故树分析中的作用1、最小割集在事故树分析中的作用（1）表示系统的危险性（2）表示顶事件发生的原因组合（3）为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施（4）利用最小割集可以判定事故树中的基本事件的结构重要度和方便地计算顶事件发生的概率2、最小径集在事故树分析中的作用（1）表示系统的安全性（2）依据最小径集可选取确保系统安全的最佳方案。（3）利用最小径集可以判定事故树中的基本事件的结构重要度和计算顶事件发生的概率六、结构重要度分析1、结构重要度分析概念结构重要度分析，是从事故树结构上分析各基本事件的重要程度，即在不考虑各基本事件的发生概率，或者说假定各基本事件的发生概率都相等的情况下，分析各基本事件的发生对顶事件发生所产生的影响程度，一般用表示。基本事件结构重要度越大，它对顶事件的影响程度就越大；反之亦然。)(iI2、结构重要度分析方法（2）利用最小割集或最小径集判断结构重要度（1）计算基本事件结构重要度系数（1）基本事件的结构重要度系数其他基本事件状态一定10:ix若：则：1）2）3）00:y11:y10:y个基本事件的可能状态组合有：1n12n定义：结构重要度系数12)(nimiI练习1图2-13x1x2x3x4yx1x2x3x4y0000010001000101001100100101010011010111010001100101011110110110111101011111111185)1(I83)2(I81)3(I81)4(I)4()3()2()1(IIII（2）利用最小割集或最小径集进行结构重要度排序1）单个事件构成最小割(径)集，则该基本事件结构重要度最大2）在同一最小割(径集)中出现，且不在其他集中出现的基本事件，结构重要度相同3）若最小割(径)集中包含的基本事件数目相等，则累计出现次数多的基本事件结构重要度大，出现次数相等的结构重要度相等4）若几个基本事件在不同最小割(径)集中重复出现的次数相等，则在少事件的割径集中出现的事件结构重要度大练习2某事故树的最小割集为K1={x1,x5,x7,x8}；K2={x1,x6,x7,x8}；K3={x2,x6,x7,x8}。求各基本事件的结构重要度排序)5()2()6()1()8()7(IIIIII练习3某事故树的最小割集为K1={x5，x6,x7,x8}；K2={x3,x4}；K3={x1}；K4={x2}。求各基本事件的结构重要度排序)8()7()6()5()4()3()2()1(IIIIIIII（3）简易算法给每一个最小割集赋分1，由最小割集中包含的基本事件平分，计算累积分数，按分数高低排序。练习4某事故树的最小割集为K1={x1，x3,x5,x6}；K2={x3,x4}；K3={x1}；K4={x2}。求各基本事件的结构重要度排序（4）利用最小割集确定结构重要度系数的近似计算公式jikxjnNiI11)(1）jijkxniI)1(21)(2）3）jijkxniI)211(1)()1(某事故树的最小割集为K1={x1，x2，x3}；K2={x1，x2，x4}；K3={x5，x6}。试利用上述3个近似公式计算各基本事件的结构重要度系数练习5)4()3()6()5()2()1(IIIIII1)2))4()3()6()5()2()1(IIIIII3))4()3()2()1()6()5(IIIIII作业最小割集和最小径集在事故树分析中的作用？第四部分事故树的定量分析顶事件的发生概率概率重要度临界重要度（一）顶事件的发生概率一、基本计算公式1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式各基本事件均为独立事件二、直接分步算法各基本事件的概率分别为：q1=q2=0.01q3=q4=0.02q5=q6=0.03q7=q8=0.04求顶事件T发生的概率三、利用最小割集计算例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q7，求顶事件发生概率。画出等效事故树用分步计算法计算顶事件的发生概率等效事故树该方法适用于各个最小割集中彼此没有重复的基本事件)1)(1)(1(1)(7654321qqqqqqqTP例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x2,x3,x4},{x2,x5}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q5，求顶上事件发生概率。列出顶事件发生概率的表达式用布尔代数等幂律化简，消除每个概率积中的重复事件计算顶事件的发生概率43221543225243252432211(1)1)(1)(1(1)(qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqTP四、利用最小径集计算例：设某事故树有3个最小径集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q7，求顶事件发生概率。画出等效事故树用分步计算法计算顶事件的发生概率等效事故树该方法适用于各个最小径集中彼此没有重复的基本事件例：设某事故树有3个最小径集：P1={x1,x2},P2={x2,x3},P3={x2,x4}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q4，求顶上事件发生概率。列出顶事件发生概率的表达式用布尔代数等幂律化简，消除每个概率积中的重复事件计算顶事件的发生概率五、近似计算方法首项近似法rjkxijiqTP1)(求近似区间独立近似法rjkxijiqTP1)(rjpxijiqTP1)(（二）概率重要度概率重要度定义顶事件发生概率对该基本事件发生概率的变化率igqTPiI)()(求出各基本事件的概率重要度后，就可知道，降低哪个基本事件的发生概率，可以迅速有效地降低顶事件的发生概率。基本事件的概率重要度与该基本事件的发生概率无关（三）临界重要度临界重要度定义基本事件发生概率的相对变化率与顶事件发生概率的相对变化率之比))((lim)())()((lim)(00iqiiiqcqTPTPqqqTPTPiIii)()()()(TPqiIqTPTPqigii例：设某事故树最小径集为P1={x1}，P2={x2，x3，x4}，P3={x5，x6}。若各基本事件的发生概率分别为：q1=0.9，q2=0.001，q3=0.001，q4=0.001，q5=0.8，q6=0.3。试求：（1）顶事件的发生概率。（2）各基本事件的概率重要度系数。（3）各基本事件的临界重要度系数。00282.0)]1)(1(1)][1)(1)(1(1[)]}1)(1(1)][1)(1)(1(1[{)()1(6543216543211qqqqqqqqqqqqqTPIg00265.0)]1)(1(1)][1)(1)(1(1[)(654321qqqqqqTP)1(cI958.000265.09.000282.0)()1(1TPqIg))((654321xxxxxxT作业计算结构重要度系数和顶事件发生