2.1-1.参数方程的概念-课件(人教A选修4-4)

返回返回返回1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：x＝fty＝gt①，并且对于每一个t的允许值，方程组①所确定的点(x，y)，那么方程组①就叫这条曲线的，t叫做，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫．都在这条曲线上参数方程参数普通方程返回2．参数的意义是联系变数x，y的桥梁，可以是有意义或意义的变数，也可以是的变数．参数物理几何返回返回[例1]如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．[思路点拨]此类问题关键是参数的选取．本例中由于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．返回[解]法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵|OA|＝a2－t2，∴|BQ|＝a2－t2.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为x＝t＋a2－t2，y＝t，(0＜t＜a)．返回法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO＝π2－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acos(π2－θ)＝asinθ.返回在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为x＝asinθ＋cosθ，y＝asinθ.(θ为参数，0＜θ＜π2)．返回求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．返回第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．返回1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知：x＝2cosθ，y＝2sinθ，又θ＝π60·t，故参数方程为：x＝2cosπ60t，y＝2sinπ60t.返回2．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．解：选t＝x，则y＝2t＋3由此得直线的参数方程为x＝t，y＝2t＋3，(t为参数)．也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1.参数方程为：x＝t－1，y＝2t＋1.(t为参数)返回[例2]已知曲线C的参数方程是x＝3ty＝2t2＋1(t为参数)．(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系．(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．[思路点拨]由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．返回[解](1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得：0＝3t，1＝2t2＋1.解得：t＝0.∴点M1在曲线C上．同理：可知点M2不在曲线C上．(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，∴6＝3t，a＝2t2＋1.解得：t＝2，a＝9.∴a＝9.返回参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．返回3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为()A．(－1＋cosθ，sinθ)B．(1＋sinθ，cosθ)C．(－1＋2cosθ，2sinθ)D．(1＋2cosθ，2sinθ)解析：将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．答案：D返回4．已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2t，y＝at2(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求常数a.解：∵点M(5,4)在曲线C上，∴5＝1＋2t，4＝at2，解得：t＝2，a＝1.∴a的值为1.返回点击下图进入