度北师大版必修2精品讲学案：第二章2.2圆与圆的方程

数学第1课时圆的标准方程[核心必知]1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程(1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)当圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.3．中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22.[问题思考]1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径．讲一讲1．写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；数学(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[尝试解答]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝2－02＋－1－02＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．练一练1．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．解：(1)由两点间距离公式，得r＝6－22＋3＋22＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.讲一讲2．已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？数学[尝试解答]由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝12|P1P2|＝123＋12＋6－22＝22.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8，(5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.练一练2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．解：∵点A在圆内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2，∴2a＋5＜0，∴a＜－52，∴a的取值范围是aa＜－52.讲一讲3．求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．[尝试解答]法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)，由2x－y－3＝0，y＝－12x－4，解得x＝2，y＝1.数学即圆心C的坐标为(2,1)．∴r＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值．(3)代入标准方程，得出结果．练一练3．求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．解：设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵圆与两坐标轴相切，∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0，又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.解方程组a－b＝0，5a－3b＝8，或a＋b＝0，5a－3b＝8，得a＝4，b＝4，或a＝1，b＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值．[巧思]x2＋y2可以看成圆(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离的平方．[妙解]方程(x－2)2＋y2＝3表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，半径为3，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43.(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.数学1．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25解析：选C半径r＝32＋42＝5，∴圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.2．点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＜－1或a＞1D．a＝±1解析：选A点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部⇔(1－a)2＋(1＋a)2＜4，解得－1＜a＜1.3．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，∴2＝x＋02，－3＝0＋y2，即x＝4，y＝－6.∴A(4,0)，B(0，－6)．∴r＝12|AB|＝12×42＋62＝13.∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.4．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)的圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离为________．解析：由圆C的方程知圆心C的坐标为C(2，－1)，再由点到直线的距离公式得：d＝|4×2＋3×－1－12|42＋32＝75.数学答案：755．圆心在y轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为________．解析：由题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝25.则将(0,0)坐标代入，得b2＝25，∴b＝±5.∴所求圆的方程为x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝25.答案：x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝256．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由x－3y－6＝0，3x＋y＋2＝0，解得点A的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝2－02＋0＋22＝22.从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.一、选择题1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)()A．是圆心B．在圆C外C．在圆C内D．在圆C上解析：选C由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r＝2，故排除A.又∵|PC|＝3－22＋2－32＝2＜2＝r，数学∴P在圆C内部．2．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是()A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1D．(x－3)2＋(y－4)2＝1解析：选B对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x＋y＝0的对称点作为圆心即可．∵已知圆的圆心(3，－4)关于x＋y＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝1.3．在方程(x－1)2＋(y＋2)2＝m2＋9(m∈R)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是()A．(－1,2)，3B．(1，－2)，3C．(－1,2),m2＋9D．(1，－2),m2＋9解析：选B当m＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)．4．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：选D由y＝9－x2，知y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9.∴原方程等价于x2＋y2＝9，y≥0，表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分．5．设M是圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上的点，则M到3x＋4y－2＝0的最小距离是()A．9B．8C．5D．2解析：选D圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|5＝5，∴所求的最小距离是5－3＝2.二、填空题6．圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程为____________．解析：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则b＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝4，b＝0，r＝5，数学∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的中垂线上．AB中垂线的方程为y＝－12(x－4)，令y＝0，得x＝4.即圆心坐标C(4,0)，∴r＝|CA|＝5－42＋2－02＝5，∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.答案：(x－4)2＋y2＝57．已知圆C1的方程(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为__________．解析：由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(－3,2)．可设C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝r2.又由C2过点A(5,0)，所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68.故圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68.答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝688．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则x－12＋y－12的最大值为________．解析：理解x－12＋y－12的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1,1)的距离．因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离．易知点(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，结合图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.答案：26＋2三、解答题9．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的