2016年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学)

2016年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题(高级中学)(满分:100分考试时间:120分钟)题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。)1.极限limn→∞(1+11+n2)n2的值是()。A.eB.1C.1eD.02.下列级数中,不收敛的是()。A.􀰐∞n=1(-1)nnB.􀰐∞n=11n2C.􀰐∞n=11nD.􀰐∞n=11n!3.方程x2-y2+z2=-1所确定的二次曲面是()。A.椭球面B.旋转双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面4.若函数f(x)在[0,1]上黎曼可积,则f(x)在[0,1]上()。A.连续B.单调C.可导D.有界5.矩阵122212221æèçççöø÷÷÷的特牲值的个数为()。A.0B.1C.2D.36.二次型x2-3xy+y2是()。A.正定的B.负定的C.不定的D.以上都不是7.《普通高中数学课程标准(实验)》的课程目标提出培养数学基本能力,对于用几何方法证明“地线与平面平行的性质定理”的学习有助于培养的数学基本能力有()。A.推理论证、运算求解、数据处理B.空间想象、推理论证、抽象概括·1·C.推理论证、数据处理、空间想象D.数据处理、空间想象、抽象概括8.创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程之中,下面的表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是()。A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同策略C.规范数学书写D.探索结论的新应用得分评卷人二、简答题(本大题共5小题,每小题7分,共35分。)9.设质点在平面上的运动轨迹为x=t-sint,y=2-cost,{t≥0,求质点在时刻t=1的速度的大小。10.设球面方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=169。求它在点(4,5,13)处的切平面方程。11.在体育活动中,甲乙两人掷一枚六面分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子。如果结果为奇数,则甲跑一圈:若结果为1或2,则乙跑一圈,请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立,并说明理由。·2·12.《普通高中数学课程标准(实验)》描述“知识与技能”领域目标的行为动词有“了解”“理解”“掌握”“运用”,请以“等差数列”概念为例,说明“理解”的基本含义。13.以“余弦定理”教学为例,简述数学定理数学的主要环节。得分评卷人三、解答题(本大题1小题,10分。)14.设A=110121341æèçççöø÷÷÷,求子空间A(R3)={Aa|a􀆠R3}的一组正交基。·3·得分评卷人四、论述题(本大题1小题,15分。)15.“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。(l)简述“严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵(3分);(2)实数指数幂在数学上如何引入的?(6分)(3)在高中“实数指数幂”概念韵教学中,如何体现“严谨性与量力性相结合”的教学原则。(6分)得分评卷人五、案例分析题(本大题1小题,20分。)阅读案例,并回答问题。16.案例:在等差数列的习题课教学中,教师布置了这样一个问题:等差数列前10项和为100,前100项和为10,求前110项的和。两位学生的解法如下:学生甲:设等差数例的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10×92d=100,S100=100a1+100×992d=10。解得a1=1099100,d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110。学生乙:设等差数列{an}前n项和为Sn=An2+Bn,由已知得100A+10B=100,10000A+100B=10。{解得A=-11100,B=11110。所以,S10=1102×-11100æèçöø÷+110×11110=-110针对上述解法,一些学生提出了自己的想法。学生丙:怎么刚好有S100+S10=-S110呢?这是一种巧合吗?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?老师:同学丙所说的规律是否就是:·4·一般地,在等差数列{an}中,若存在正整数p,q且p≠q,使得SP=q,SQ=p,则Sp+Sq=-Sp+q。(*)请同学们进行验证。问题:(1)请分析学生甲和学生乙解法各自的特点,并解释学生乙设Sn=An2+Bn的理由。(12分)(2)请验证(*)中结论是否成立。(8分)得分评卷人六、教学设计题(本大题1小题,30分)。17.《普通高中数学课程标准(实验)》关于“古典概型”的教学要求是:“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性,让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型,教学中不要把重点放在‘如何计算’上”。请完成下列任务:(1)结合上述教学要求,请设计高中“古典概型”起始课的教学目标;(6分)(2)请设计两个符合古典概型的正例,以及两个不符合古典概型的反例,以便理解古典概型的特征;(12分)(3)抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有1、2、3、4、5、6个点),请用两种不同解法求出现偶数点的概率,并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。(12分)·5·2015年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题(高级中学)(满分:100分考试时间:120分钟)题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。)1.若多项式f(x)=x4+x3-3x2-4x-1和g(x)=x3+x2-x-1,则.f(x)和g(x)的公因式为()。A.x+lB.x+3C.x-1D.x-22.已知变换矩阵A=1000200003æèçççöø÷÷÷,则A将空间曲面(x-1)2+(y-2)2+(z-1)2=1变成()。A.球面B.椭球面C.抛物面D.双曲面3.为研究7至10岁少年儿童的身高情况,甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市的100名和1000名两组调查样本,若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β(单位:cm),则α、β的大小关系为()。A.αβB.αβC.α=βD.不能确定4.已知数列{an}与数列{bn},n=1,2,3…,则下列结论不正确的是()。A.若对任意的正整数n,有an≤bn,limn→∞an=a,limn→∞bn=b,且b0,则a0B.若limn→∞an=a,limn→∞bn=b,且ab,则对任意的正整数n,anbnC.若limn→∞an=a,limn→∞bn=b,且存在正整数N,使得当nN时,an≥b。则a≥bD.若对任意的整数n,有an≥bn,limn→∞an=a,limn→∞bn=b,且b0,则a0·6·5.下列关系式不正确的是()。A.(a+c)·b=b·a+b·cB.(a+c)×b=b×a+b×cC.(a·b)2+(a×b)2=a2b2D.(a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a6.函数􀰐∞n=13nnxn级数的收敛区间为()。A.(-3,3)B.(-13,13]C.[-13,13)D.[-3,3]7.20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是()。A.贝利一克莱茵运动B.大众教学C.新数学运动D.PISA项目8.《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五种基本能力,其中不包括()。A.抽象概括B.推理论证C.观察操作D.数据处理得分评卷人二、简答题(本大题共5小题,每题7分,共35分)9.一条光线斜射在一水平放置的平面镜上,人射角为α(0απ2),请建立空间直角坐标系,并求出反射光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周,求所得的旋转曲面的方程。10.求证:非齐次线性方程组a1x+by+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3ìîíïïïï有唯一解当且仅当向量v1=a1a2a3æèçççöø÷÷÷,v2=b1b2b3æèçççöø÷÷÷,v3=c1c2c3æèçççöø÷÷÷线性无关。·7·11.某飞行表演大队由甲、乙两队组成。甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各3架。乙队中仅有3架喷红色烟雾的飞机。在一次飞行表演中,需要从甲队中任意选出3架飞机与乙队飞机混合编队进行表演,并任意确定一架飞机作为领飞飞机,求领飞飞机是喷绿色烟雾的概率。12.阐述确定数学课程内容的依据13.举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用。得分评卷人三、解答题(本大题1小题,10分)14.叙述并证明拉格朗日微分中值定理,并简述拉格朗日微分中值定理与中学数学内容的联系。·8·得分评卷人四、论述题(本大题1小题,15分)15.叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵,并以“是无理数”的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。得分评卷人五、案例分析题(本大题1小题,20分)阅读案例,并回答问题。16.案例:在“三角函数求值”的教学中,教师给出了如下的问题。已知α、β为锐角,sinα=255,sin(α+β)=35,求cosβ的值。教师发现两位学生板演,他(他)们的板演过程如下:生1:因为sinα=255,α是锐角,所以cosα=55,又因为sin(α+β)=35,0αβπ,所以cos(α+β)=±45,当cos(α+β)=45时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45×55+35×255=10525=255,当cos(α+β)=-45时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα。=45×55+35×255=2525,生2:因为sinα=255,α是锐角,所以cosα=55,由cosβ=x,因为β位锐角,所以sinβ=1-x2,则255x+551-x2=35,去分母,25x+5·1-x2=3,移项,5·1-x2=3-25x,两边平方,5-5x2=9-125x+20x2,合并同类项,25x2-125x+4=0,解方程得,x1=2525,x2=255。·9·教师发现两位学生板演的内容与自己预设的内容不一致。问题:(1)你如何评价这两位学生的解题过程。(10分)(2)假如你是该教师,针对学生板演的情况,如何组织进一步的教学,完成该题的教学任务。(10分)得分评卷人六、教学设计题(本大题1小题,30分)17.“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容,请完成下列任务:(1)在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中,有两种方案:①强调基本不等式在求数值中的应用,将基本不等式的应用作为重点。②强调基本不等式的背景,过程与意义,将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。你赞同哪种方案?简述理由。(10分)(2,给出的几何解释。(10分)(3)为了让高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义,作为教师应该对此有多个维度的理解,请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。(10分)·01·参考答案及解析教师资格考试数学学科知识与教学能力(高级中学)标准预测试卷(一)一、单项选择题1.A【解析】方法一:limn→∞1+11+n2()n2=limn→∞1+11+n2()1+n2-1=limn→∞1+11+n2()n2+11+11+n2=e1=e。方法二:limn→∞1+11+n2()n2=limn→∞eln1+11+n2()n2=elimn→∞ln1+11+n2()n2=elimn→∞n2ln1+11+n2()=elimn→∞ln1+11+n2()1n2=elimn→∞11+n21n2=elimn→∞n21+n2=e。2.C【解析】假设调和级数􀰑∞n=11n收敛,记其和为Sn,即S=􀰑∞n=11n。考虑该级数的部分和Sn=1+12+…+1n=S2n=1+12+…+1n+1n+1+1n+2+…+1n+n,则S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+1n+