定积分1

第十一节导数在研究函数中的应用1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、、、.分割近似代替求和取极限2.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式.当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作.∑ni＝1f(ξi)Δxʃbaf(x)dx②定积分的几何意义:f(x)的几何意义f(x)≥0表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a,b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积baf(x)dxx=ax=bx=ax=b③定积分的性质:(ⅰ)kf(x)dx=__________(k为常数).(ⅱ)[f1(x)±f2(x)]dx=___________________.(ⅲ)_________=(其中acb).babakfxdxbabb12aafxdxfxdxbafxdxcbacfxdxfxdx＋(2)微积分基本定理:一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么=__________,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.baf(x)dxF(b)-F(a)2简化计算,一些常见的积分公式bamdxxbamxm111badxx1baxlnbaxdxebaxenmxdxanmxaalnbaxdxcosbaxsinbaxdxsinbax)cos(badxxgxf)]()([babadxxgdxxf)()([必会结论]定积分与曲边梯形的面积的关系定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：xfsba1xfsba-2xfxfsbcca3xgxfsbaab41.(2014·重庆模拟)已知f(x)为奇函数且则等于()A.0B.4C.8D.16【解析】选A.因为f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，60fxdx8,66fxdx0660606660fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx0.故与相等，所以3.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此质点在时间［1,2］内的位移为()【解析】选A.17141311A.B.C.D.636622322111117stt2dt(tt2t)|.326＝－＋＝－＋＝考点1定积分的计算【典例1】(1)(2014·江西高考)若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=()(2)(2015·石家庄模拟)()dx=_______.【解题提示】(1)利用方程思想求解.(2)dx利用定积分的几何意义求解.1011A.1B.C.D.13310211xx21021x10【规范解答】(1)选B.设则c=解得c=(2)因为的几何意义是单位圆x2+y2=1(x≥0,y≥0)与坐标轴围成区域的面积，所以又则答案：10f(x)dxc，12310011(x2c)dx(x2cx)|2c33，1.31112200011(1xx)dx1xdxxdx,221201xdx1201xdx4，12100111xdxx|,2441201111(1xx)dx.244414命题角度2:与概率综合应用【典例3】(2014·福建高考)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.【规范解答】y=ex和y=lnx互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，则答案：1xx100222(ee)dx(exe)|S2P11Seee22△．22e【典例3】(1)(2014·淄博模拟)如图，直线y=2x与抛物线y=3-x2所围成的阴影部分的面积是()3532A.B.22C.3D.33(2)(2014·长春模拟)设a＞0,若曲线y=与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=_____.【解题视点】(1)根据图形确定积分的上、下限及被积函数，将所求面积转化为定积分的计算.(2)根据定积分的几何意义求解.x【规范解答】(1)选D.由题干图知1232133321S3x2xdx(3xxx)|311(311)[3333]3332.3【规范解答】(1)选D.由题干图知1232133321S3x2xdx(3xxx)|311(311)[3333]3332.3(2)求曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，答案:x33aa22200224xdxx|a0aa.339即，解得49【通关题组】1.(2014·郑州模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为()【解析】选C.由xy=1得由得xD=1,所以曲边四边形的面积为1191A.B.C.ln3D.4ln36221y,xyx1yx，132130101111xdxdxx|lnx|ln3.x22【类题试解】(2014·重庆模拟)如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的图形的面积为_____.14【解析】由得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．由得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．所以所求面积答案：2yxy1＝－，＝－，21yx4y1＝－，＝－，1222201114S2[(xx)dx(x1)dx].443＝－＋＋－＋＝43命题角度3与概率交汇命题例4[2014·辽宁高考]正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．23[解析]由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝S阴影S正方形＝＝834＝23.3.(2015·北京模拟)如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是.【解析】阴影部分的面积为圆的面积为所以点A落在区域M内的概率是答案：002sinxdx2(cosx)|4,3，34.34跟踪训练求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解由图知解方程组y＝xy＝x2，得交点(1,1)，解方程组y＝3xy＝x2，得交点(3,9)，由此所围图形面积为：S＝01(3x－x)dx＋13(3x－x2)dx＝133.