离散数学第六章-集合-集合的基本运算

第六章集合6.1集合的基本概念6.2集合的基本运算6.3全集和集合的补6.4自然数与自然数集6.5包含与排斥原理并运算：A∪B定义：设A和B是两个集合,则①存在一个集合，它的元素是所有的或者属于集合A，或者属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的并集。记为A∪B，即A∪B={x│x∊A或x∊B}A∪B交运算、差运算②存在一个集合，它的元素是所有的既属于集合A，又属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的交集。记为A∩B，即A∩B={x│x∊A且x∊B}A∩B交运算、差运算③存在一个集合，它的元素是所有的属于集合A，但不属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的差。记为A–B，即A–B={x│x∊A且x∉B}A–B集合运算性质定理：设A、B、C是三个任意集合，则：①幂等律A∪A=AA∩A=A②交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A③结合律A∪（B∪C）=（A∪B）∪CA∩（B∩C）=（A∩B）∩C④分配律A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）对于任意的x，若x∊A∪(B∩C)，则x∊A，或x∊B∩C。当x∊A，则x∊A∪B且x∊A∪C，所以x∊(A∪B)∩(A∪C)；当x∊B∩C，则x∊B且x∊C，就有x∊A∪B,且x∊A∪C，所以x∊(A∪B)∩(A∪C)。故A∪(B∩C)⊆(A∪B)∩(A∪C)反过来，若x∊(A∪B)∩(A∪C)，则x∊A∪B,且x∊A∪C由x∊A∪B得x∊A或x∊B；（1）由x∊A∪C得x∊A或x∊C。（2）于是，当x∊A，有x∊A∪(B∩C)；当x∉A，由(1)和(2)，x∊B且x∊C，有x∊B∩C，所以x∊A∪(B∩C)。故(A∪B)∩(A∪C)⊆A∪(B∩C)综上知，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。对称差定义2：A,B是两个集合，存在一个集合，它的元素是所有的或者属于A不属于B，或者属于B不属于A，称它为集合A和集合B的对称差，记为A⊕B，即：A⊕B={x│x∊A且x∉B,或x∊B且x∉A}A⊕B由定义，不难知：A⊕B=(A–B)∪(B–A)A⊕A=ØA⊕Ø=A命题(p65)A⊕B=(A∪B)–(A∩B)证明：对于任何一个x,若x∊A⊕B，则x∊A–B或x∊B–A。若x∊A–B，则有x∊A且x∉B，从而有x∊A∪B且x∉A∩B，所以x∊(A∪B)–(A∩B)；若x∊B–A，则有x∊B且x∉A，从而有x∊A∪B且x∉A∩B，所以x∊(A∪B)–(A∩B)；因此,A⊕B⊆(A∪B)–(A∩B)对于任何一个x，若x∊(A∪B)–(A∩B)，则有x∊A∪B且x∉A∩B。若x∊A,又x∉A∩B,所以x∉B,从而有x∊A–B,故x∊A⊕B；若x∊B,又x∉A∩B,所以x∉A,从而有x∊B–A,故x∊A⊕B；因此，(A∪B)–(A∩B)⊆A⊕B综上所得，A⊕B=(A∪B)–(A∩B)。例：（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）设x∊（A⊕B）⊕C,于是有（1）x∊A⊕B，且x∉C，即有x∊A且x∉B且x∉C,或x∊B且x∉A且x∉C；或（2）x∊C且x∉A⊕B,即有x∊C且x∊A且x∊B，或x∊C且x∉A且x∉B。设x∊A⊕（B⊕C）,于是有（1）x∊A，且x∉B⊕C，即有x∊A且x∉B且x∉C，或x∊A且x∊B且x∊C；或（2）x∊B⊕C且x∉A,即有x∊B且x∉C且x∉A，或x∊C且x∉B且x∉A。由上不难看出：（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）ABC例1(p66)(A-B)∪(A-C)=A在何条件下成立？解：根据分析当且仅当A∩(B∩C)=Ø时,等式成立。首先，假若(A-B)∪(A-C)=A,要证明A∩(B∩C)=Ø。用反证法。若A∩B∩C≠Ø,则∃x∊A∩B∩C,所以x∊A，x∊B，x∊C。由x∊A，x∊B,有x∉A-B,又由x∊A，x∊C,有x∉A-C,所以有x∉(A-B)∪(A-C)=A。矛盾说明A∩B∩C=Ø。分析：A的元素a既是B的元素、也是C的元素，则等式不成立。再证，若A∩(B∩C)=Ø,则(A-B)∪(A-C)=A成立。对于任意的x∊(A-B)∪(A-C),则有x∊A-B或x∊A-C,即有x∊A且x∉B,或x∊A且x∉C,于是有x∊A,所以(A-B)∪(A-C)⊆A。对于任意的x∊A,若x∉B，则有x∊A-B,进而x∊(A-B)∪(A-C)；若x∊B,则x∊A∩B，由于A∩(B∩C)=Ø,则x∉C,即有x∊A-C,进而x∊(A-B)∪(A-C)；所以有A⊆(A-B)∪(A-C)。综合得到(A-B)∪(A-C)=A成立。例2(p66)已知A⊕B=A⊕C，证明B=C。证明：因为A⊕B=A⊕C所以A⊕(A⊕B)=A⊕(A⊕C)从而有（A⊕A）⊕B=（A⊕A）⊕C即Ø⊕B=Ø⊕C故B=C有限并、有限交设Pi(1≤i≤k)是k个任意集合,ikiP1}1{1iikiPxkiixP，，存在一个ikiP1}1{1iikiPxkiixP，，对于所有的把P1∪P2∪┅∪Pk简记为把P1∩P2∩┅∩Pk简记为推论(p67)设A,Pi(1≤i≤k)是k+1个集合,则)(11ikiikiPAPA)(11ikiikiPAPA（分配率对有限并、有限交都成立。）可数并、可数交设Pi(i∊N)是任意集合,}1,{1iiiPxiNiixP，，存在一个}1,{1iiiPxiNiixP，，对于所有的)(11iiiiPAPA)(11iiiiPAPA性质：设A,Pi(i∊N)是任意集合,广义并、广义交}{ggHgAxHgxA，存在一个}{ggHgAxHgxA，对于所有的设H是一个集合，我们称它为下标集，对于H中的每一个元素g，Ag表示一个集合。广义并、广义交设D是一个集合簇，也可以认为是一个以集合为元素的集合。我们要求D不是空集合。我们令：}{SxDSxSDs，存在一个}{SxDSxSDs，对于所有的在D={Ag│g∊H}的情形下,有gHgDsASgHgDsAS例3(p67)设Sa={x│0≤xa}，其中a是一个正实数。令R+={x∊R│x0}记则}{RaSDa}0{xRxSSaRaDs}0{aRaDsSS幂集定义3：A是一个集合，存在一个集合，它是由A的所有子集为元素构成的集合，称它为集合A的幂集合，记为ρ(A)，也记为2A。例设A={0,1}，则ρ(A)={Ø,{0},{1},{0,1}}设B={a,b,c}，则ρ(B)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}第六章集合6.1集合的基本概念6.2集合的基本运算6.3全集和集合的补6.4自然数与自然数集6.5包含与排斥原理