二重积分的概念与性质

1重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取极限.定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间.而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序言2问题的提出二重积分的概念二重积分的性质doubleintegral第一节二重积分的概念与性质3一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为4),(yxfz曲顶柱体体积=特点1．曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体0),((yxf),,(yxfz以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).oyxz曲顶顶是曲的5柱体体积=特点分析曲边梯形面积是如何求以直代曲、解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限.底面积×高6D),(yxfzxzyO),(ii),(iifi7(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似iii),(第i个小曲顶柱体的体积的近似式iVn,,21(用表示第i个子域的面积).i将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点ni,3,2,1iiif),(8(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限λ)趋于零,iiniifV),(lim10iiinif),(1iiinifV),(1求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积92.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.iM(2)M(3)M(4)近似任取小块i设有一平面薄片,,DxOy面上的闭区域占有),,(),(yxyx处的面密度为在点Dyx在假定),(,上连续求平面薄片的质量M.iii),(iinii),(1iinii),(10limxyO),(iii10也表示它的面积,,),(上的有界函数是有界闭区域设Dyxf,个小区域表示第其中ii),,(iii上任取一点在每个二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义个小闭区域任意分成将闭区域nD,,,,21n作乘积iiif),(),,,2,1(ni并作和.),(1iiniif①②③11积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素,d),(Dyxf这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,iiniif),(1极限为函数二重积分,上的在闭区域Dyxf),(记为即iiniiDfyxf),(limd),(10④12曲顶柱体体积,d),(DyxfV它的面密度.d),(DyxM曲顶即在底D上的二重积分,),(yxfz平面薄片D的质量即0),(yx在薄片D上的二重积分,132.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,Dyxfd),(二重积分可写为注1.重积分中,0dyxddDyxf),(则面积元素为OxyDyxddd14中iiniiDfyxyxf),(limdd),(10(A)最大小区间长;(B)小区域最大面积;(C)小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题).(是152.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数Dyxfd),(存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的16(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,),(yxf,0),(时当yxf,0),(时当yxf柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,),(yxf当17例设D为圆域222Ryx二重积分DyxRd222=解222yxRz上述积分等于DyxRd222332R由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RyxzOD18性质１为常数,则(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质Dyxgyxfd)],(),([、设DDyxgyxfd),(d),(19根据二重积分的几何意义,确定积分值,d)(22Dyxb0ab222ayxD为其中ba2332a20以1为高的性质2将区域D分为两个子域Dyxfd),(性质3若为D的面积)(21DDDoxyD1D2注Dd既可看成是以D为底,柱体体积.对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线外无公共点.D1d),(Dyxf2d),(Dyxf21,DDDd1Dd又可看成是D的面积.21),(yxf若在有界闭区域D1上可积,且,21DD则必有.dd),(dd),(21DDyxyxfyxyxf22Dyxfd),(特殊地性质4(比较性质)),(),(yxgyxf设,),(Dyx则Dyxgd),(Dyxfd),(Dyxfd),(23例41222222ddsinyxyxyxyx的值().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B24选择题比较与d)(21DyxI,1)1()2(:22yxD其中(D)无法比较.oxy1••1•2C(2,1)•性质4(比较性质).)()(32yxyxd)(32DyxI的大小,则().)(21IIA.)(21IIB.)(21IIC1yx,),(Dyx,1yx25220yx0)ln(22yx解例判断的正负号.1||||22dd)ln(yxryxyx||||1rxy当时2|)||(|yx1故)ln(22yx01||||22dd)ln(yxryxyx于是0又当,1||||时yx26DMyxfmd),(几何意义以m为高和以M为高的两个证Dd再用性质1和性质3,性质5(估值性质)则,),(Myxfm设σ为D的面积,Myxfm),(,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.DdDd2722yxed)(22Dyxe222d)(aDyxeabeab解估值性质DMyxfmd),(区域D的面积ab在D上220yx例不作计算,,d)(22的值估计DyxeI).0(,1:2222abbyaxD是椭圆闭区域其中2a2ae0e12aemM28性质6(二重积分中值定理)),,(Dyxfd),(体积等于),(f以显然DMyxfmd),(几何意义证在闭区域设),(yxfD上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得),(f,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱体以D为底为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以DMyxfmd),(1.0,有29DMyxfmd),(1的最大值M与最小值m之间的.Dyxfd),(1由闭区域上连续函数的介值定理.Dyxfd),(1两端各乘以),,(点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数),(yxf在D上至少存在一点使得函数在该),(f与这个确定的数值相等,即,30选择题222yx).(d),(1lim22220是极限yxyxf(A)(B)(C)(D)提示:B是有界闭区域D:),(yxf设上的连续函数,不存在.).0,0(f).1,1(f).0,1(f利用积分中值定理.31利用积分中值定理,),(lim0f解即得:222d),(1lim20yxyxf求222222d),(d),(yxyxfyxf222yx),(222d),(1lim20yxyxf).0,0(f,0时当),(点由函数的连续性知,),(2f显然,).0,0(其中点是圆域内的一点.),(d),(fyxfD32补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.Dyxfd),(oxyD1性质7）即),(),((yxfyxf则D1为D在x轴上方的部分,对称性质1d),(2Dyxf坐标y为奇函数0d),(Dyxf)),,(),((yxfyxf即则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于33这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数34Dyxfd),(如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数0d),(DyxfoxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则,),(),((）即yxfyxf为偶函数,),(),((）即yxfyxf则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在Y轴右边的部分,1d),(2Dyxf35设D为圆域(如图)d2Dyd212Dyd3Dy0d2Dxd222Dxd3Dx0D1为上半圆域D2为右半圆域yxOyxO36今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意被积函数的奇偶性.积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:37二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)(四步:分割、取近似、求和、取极限)四、小结(注意对称性质的用法)