几何图形解题方法

几何图形解题方法在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。（一）添辅助线法有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。*例1求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度）解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是：25÷2=12.5（平方米）所以，阴影部分的面积是：12.5×3=37.5（平方米）答略。*例2如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。因为它的高是5厘米，所以，EC=10÷5=2（厘米）答：EC长2厘米。*例3如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：7×7÷2=24.5（平方厘米）在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：3×3÷2=4.5（平方厘米）所以，四边形ABCD的面积是：24.5-4.5=20（平方厘米）答略。（二）分割法分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。例1计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8=6+32=38（平方厘米）答：图形的面积是38平方厘米。例2图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。60×（40÷2）÷2×2=60×20=1200（平方厘米）答：阴影部分的面积是1200平方厘米。*例3求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。（三）割补法在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。例1求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。答：阴影部分的面积是45平方厘米。*例2求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）16×16×2=512（平方米）答：阴影部分的面积是512平方米。*例3图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。（四）平移法在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。例1计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。5×5=25（平方厘米）答略。*例2求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。（5+4）×2+2×2=9×2+4=22（厘米）答略。*例3求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。S形水泥路的面积是：30×2=60（平方米）答略。（五）旋转法将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。*例1计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。答略。例2图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。答略。*例3计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。答略。【旋转成定角】例如下面的题目：“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大（8×2）×（8×2）÷2=16×16÷2=128（平方厘米）又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是42×3.14÷2-（4+4）×4×2=25.12-16=9.12（平方厘米）又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2=6.28-2=4.28（平方厘米）（六）扩倍法扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。*例1求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度）解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）答略。例2计算图40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度）解：在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。3×10×（3+2）÷2=150÷2=75（立方分米）答略。（七）缩倍法缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。例1图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）解：将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2=15-4.5-1-5=4.5（平方厘米）把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。4.5×2=9（平方厘米）答略。例2图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。答略。（八）剪拼法有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。*例1计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。答略。*例2图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：作图40-46，并把图40-46中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的4个小正方形。如果画出两个（1），就可以剪出8个（2）那样的小正方形。用（2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中（1）～（5）中的任何一个图形。这时可清楚地看出，图40-45中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是：2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米）同理，用8个图40-46中（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。图40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中（1）的阴影面积的2倍：（2×2-3.14×1