坐标法解立体几何解答题

1坐标法解立体几何解答题教学目的：1、熟练掌握空间向量的有关知识；2、能灵活运用坐标法解决立体几何解答题的有关问题；3、进一步提高学生的空间想象能力和运算能力。教学重点：1、建立适当的空间直角坐标系；2、正确写出点的坐标；3、求平面的法向量；4、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题教学难点：求平面的法向量授课类型：专题复习教学方法：启发引导式教具准备：幻灯片20张教学过程：一、复习引入：空间向量解决立体几何问题主要有两个基本方法：坐标法与基底法。本节课着重研究利用坐标法解决立体几何解答题。1、空间向量的有关知识：(幻灯片投影)（1）设点)z,y,B(x)z,y,A(x222111、，则),,(121212zzyyxxAB；（2）设向量),,(),,,(222111zyxbzyxa，则①212121zzyyxxba；②a∥),,(),,(222111zyxzyxbab；③0212121zzyyxxbaba；（3）设向量),,(zyxa，则222zyxa；（4）bababa,cosba的夹角：、向量；2、坐标法解决立体几何解答题的步骤：(幻灯片投影)（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）写出相应的点的坐标；2l（3）解决问题：(幻灯片投影)（一）求空间角问题：空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角。①求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量，则两异面直线所成的角=arccos||||||abab。②求线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角2,,2nlnl或③求二面角：法一：在内al，在内bl，其方向如图，则二面角l的平面角babaarccos法二：设mn、是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角nmnmarccos（二）求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法。设n是平面的法向量，在内取一点B,则A到的距离|||||cos|||ABndABn二、例题讲解：例1、四棱锥ABCDS中，090ABCDAB，SA平面ABCD，aAD2，aBCABSA。（1）求证：平面SAC平面SCD；（2）求A到平面SCD的距离；3CBASDxyz（3）求SD和AC所成的角．（苏州中学高三数学第一次模考试卷）(幻灯片投影)（1）证明：轴为轴，为如图，以yADxAB，xyzA建立空间直角坐标系，则),0,0()0,2,0()0,,()0,0,0(aSaDaaCA、、、，),0,0(),0,,(aSAaaAC,,),,(111SAmACmSACzyxm则的法向量，是平面设)0,1,1(,0,1100000111111mzyxazSAmayaxACm，得取),0,,(),,2,0(,,),,(222aaCDaaSDCDnSDnSCDzyxn而的法向量，则是平面设)2,1,1(,2,11,000202222222nzxyayaxSAnazaySDn，得取SCDSACnm平面平面,0201)1(11；（2）解：的法向量是平面）知由（SCDn)2,1,1(1，aannSAdSCDA3662的距离到平面（3）解：)0,,(),,2,0(aaACaaSD510252,cos2aaaACSDACSDACSD，SD和AC所成的角就等于10arccos5另解：（传统方法）（1）2ACCDa，又2ADa，4xyz222ACCDADCDAC，又CDSACD平面SAC，平面SAC平面SCD；（2）过A作AHSC于H，由⑴知AH平面SCD，AH的长就等于点A到平面SCD的距离，在RtSAC中，63SAACAHaSC，所求距离为63a．（3）取SA的中点E，SC的中点M，AD的中点N，则EM∥AC，EN∥SD，SD和AC所成的角就等于MEN，22EMa，52ENa，32MNa，10arccos5MENSD和AC所成的角就等于10arccos5。注：（1）对两种解法进行分析、小结；（2）归纳求平面法向量的方法与步骤。例2、在直三棱柱111CBAABC中，BCAC，11BCAA，2AC，点M是1BB的中点，Q是AB的中点.（1）若P是11CA上的一动点，求证：CMPQ；（2）求二面角CBAA1的余弦值.（湖北省宜昌市高三第二次调研考试）(幻灯片投影)（1）证明：，则系轴，建立空间直角坐标为轴，为如图，以xyzCyCBxCA，设、、、、、)1,0,(),1,0,2()21,1,0()0,21,22()0,1,0()0,0,2()0,0,0(1xPAMQBAC则)21,1,0(),1,21,22(CMxPQ，CMPQxCMPQ，）（）0211121022(（2）解：ABmAAmBAAzyxm,),,(11111的法向量，则是平面设，而），，，（），，，（0121001ABAA5)0,2,1(,0,210020001111111mzyxyxABmzAAm，得取，11222,),,(CAnBCnBCAzyxn的法向量，则是平面设，），，，（），，，（而1020101CABC)2,0,1(,2,010120002222212nzyxzxCAnyBCn，得取。的平面角的余弦值为二面角31,31331,cos1CBAAnmnmnm注：此题若用传统方法解决，（1）题可通过转化为证明CM⊥平面P1CNQ（其中N为BC的中点），但对有些同学而言难度较大。(幻灯片投影)例3、如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E、F分别是BC、PA的中点。（1）求证：BF//平面PED；（2）求二面角P—DE—A的大小；（3）求点C到平面PED的距离.（江西省南昌市高三年级第一次调研）解法一：（1）取AD的中点为G，连BG，则BG//ED，∴BG∥平面PDE在△PAD中，F、G分别为所在边中点，∴FG∥PD，∴FG∥平面PDE∴平面BFG∥平面PDE，∴BF//平面PED.（2）以A为原点，过点A且平行DE的直线为x轴，AD，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，)2,1,0(0302),,()0,0,3(),1,2,0(),0,2,3(11nxzyzyxnPDEDEPDE得法向量设平面6MFCDABE又∵平面ABCD的法向量)1,0,0(2n，552512),cos(21nn∴二面角A—DE—P的大小为552arccos，（3）)0,1,0(),0,3,3(CE又，∴点C到平面PDE的距离.55||||11nCEnd注：用坐标法解此题，建立空间直角坐标系和正确写出点的坐标是个难点。思考：若注意到底面是菱形，那么以AC所在直线为x轴，DB所在直线分别为y轴，建立空间直角坐标系A－xyz，可以简化运算。(幻灯片投影)例4、直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，∠BAC=120°，∠BA1C=90°。（1）求A1B与AC所成的角的余弦值；（2）求二面角C—A1B—A的大小。（吉林省实验中学高三年级第三次检测题）分析：由AB=AC知底面是等腰三角形，故可以以底边BC所在直线为x轴，BC的高所在直线分别为y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则容易写出各个点的坐标。解：（略）（1）A1B与AC所成的角的余弦值为66；（2）二面角C—A1B—A的大小为45°。三、练习：(幻灯片投影)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证：AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。（华中师大一附中高三高考模拟考试）思路分析：建系方法一：以AB、AD、AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz。建系方法二：以BD、AC、OM所在直线分别为x轴、y轴、ABCA1B1C1yzxO7z轴，建立空间直角坐标系A－xyz（其中O为BD、AC的交点）。答案：（2）二面角A-DF-B的大小为60（3）P恰为AC中点时，PF与BC所成角是60。四、课堂小结：(幻灯片投影)1、建立适当的空间直角坐标系（关键是寻找三条两两垂直的直线）；2、求平面的法向量的步骤；3、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题。五、作业：完成印发练习。