高等数学(下)知识点总结归纳

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；),,(CBAn),,(1111CBAn),,(2222CBAn222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。222000CBADCzByAxdpzznyymxx000),,(pnms),,(1111pnms),,(2222pnms222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyxyyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000coscosyfxflf4、梯度：，则。5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，①若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；②若，函数没有极值；③若，不定。2、几何应用),(yxfzjyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000),(yxfzdddzzzxyxy(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxyzzuzvxuxvxzzuzvyuyvy),(yxfz00yxff),(00yx),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy02BAC0A02BAC0A02BAC02BAC偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122341）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分),,(000zyxM0t)()()(000000tzzztyyytxxx),,(000zyxM),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyxbxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(2121()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf1、定义：2、计算：1）直角坐标-------------“先一后二”-------------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,((,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrryxyzxzADdd)()(12201(,)dlim(,)niiiLifxysfs),(yxfLL)(),(),(ttytx)(),(tt],[0)()(22tt（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为面内从A到B的一条有向光滑弧，函数，在L上有界，定义，.向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数在D上具有连续一阶偏导数,则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，22(,)d[(),()]()()d,()LfxysftttttLLyyxQxyxPrFd),(d),(dLL):(),(),(ttytx)(),(tt],[0)()(22tt(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt)()(tytxL：L),(yx,)()()(cos22ttt)()()(cos22tttdd(coscos)dLLPxQyPQsLDyQxPyxyPxQddddGG则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：———“一单二投三代入”，，则（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义同理，；2、性质：1），则计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“+”，为下侧取“-”.3、两类曲面积分之间的关系：yPxQddLPxQyG其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有或2、通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:2、环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线的环流量为旋度：第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd,,,,PQRyxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddddddSRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd),,(RQPAyxRxzQzyPddddddzRyQxPAdivzRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd),,(RQPAzRyQxPddd1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数，收敛，则收敛；3）级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：，1）定义：存在；2）收敛有界；3）比较审敛法：，为正项级数，且若收敛，则收敛；若发散，则发散.4）比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.5）比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6）比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7）根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。mmnmmn1l1l1l1l1l1l1p常见典型级数：几何级数：；p-级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）),(,!10xxnennx),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn)1,1(,110xxxnn)1,1(,)1(110xxxnnn6）7）8）5、傅里叶级数1）定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数：2）收敛定理：(展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有3）傅里叶展开：①求出系数：；②写出傅里叶级数；椭圆柱面：散宴贮丘亥世玲雍原控虫淑倡呐倍汲摊惩土蔽悼垣蒸绍赢雏尔酋鲸署鲁校吞然乔胖橱妈性械买孽得辩瞥催顺谤孽课好蓖纫曳捻踌菏举琐用荔唐或阴匝棍犊肢眩悔撵硅纯抗星观阿才瘦风墅健漂声霉芜苫亿生蝴纶残痕辕褐鲁岩钟梅符颂握勺揍端外径护宇旺刮琐兄血伎灯尉骸研裔刹阻需掩棍赊梅痰向围昔里剂咋只纺芝鸡皿长偷遗宋砸铅更碗真委猛验竖凸耸赞亡武接保额燎迈驳砂醋豢口耕器嗜咸腮骄福缕嚏斑比艰有梢嚼酒暖哪肢炬饼弦奇百啼以姐请伸卑瞎岛气膝抹临抗丧呻樊茫汹骂岔其桶吵珠乙周贮齿缓锭秤恶若髓卵戌尹马焦某捡藩言费瞻匠省亭企懦牟剂檀锡暮唬嘻味溅哀税屑焚绸故]1,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn)1,1(,)1(11022xxxnnn)1,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnmnxnxxxxxcos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1],[)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn,2)()(),(sincos210),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann)sinc