(第四讲)(教师)二次函数的应用

第1页共46页（第1题）（第四讲）（教师）二次函数的应用一、选择题1.（2011年北京四中中考全真模拟15）某兴趣小组做实验，将一个装满水的酒瓶倒置，并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么该倒置酒瓶内水面高度h随水流出时。水面高度h与水流时间t之间关系的函数图象为（）答案：B2.（浙江杭州靖江2011模拟）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问123xxy可以由xy1通过_________________________平移得到。（原创）答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位3、（2011年黄冈市浠水县）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）答案：B二、填空题1、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是__________．答案：2152yx2．（2011北京四中一模）函数y=ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为．(D)第2页共46页答案：a＝0，a=1，a＝93.（2011灌南县新集中学一模）抛物线2axy与直线2yx交于（1，m），则a=.答案：-24.（2011灌南县新集中学一模）已知点A（m，0）是抛物线221yxx与x轴的一个交点，则代数式222007mm的值是．答案：20085、（2011年黄冈市浠水县）如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD、EF和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和D、F，则图中阴影部分面积是：_________.答案：6、（2011年浙江杭州27模）如图，AB是半图的直径，C为BA延长线上的一点，CD切半圆于点E。已知OA＝1，设DF＝x，AC＝y，则y关于x的函数解析式是_____________。答案：xxy1解答题A组1、（2011重庆市纂江县赶水镇）已知：抛物线cbxxy2的对称轴是x=2,且经过点A(1,0)，且与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C.（1）确定此二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后直线m的解析式；（3）在直线m上是否存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形，如果存在，求出满足条件的E点的坐标，如果不存在，说明理由.2第3页共46页答案：.解：(1)抛物线cbxxy2的对称轴是x=2,且经过点A(1,0)22b0=1+b+c∴b=－4,c=3∴y=x2－4x+3∴y=(x－2)2－1∴顶点F坐标（2，－1）…(2)设CD的解析式为：y=kx+bD(2,－1)C(0,3)∴3=b－1=2k+b解得：k=－2,b=3∴DC的解析式为：y=－2x+3设平移后直线m的解析式为：y=－2x+k∵直线CD沿y轴向下平移3个单位长度∴直线m经过原点∴平移后直线m的解析式为：y=－2x（3）过点C作CE∥AB交M于点E由y=－2xy=3∴x=23,y=3∴E点的坐标为(23,3)过点A作E1A∥BC交m于点E1设CB解析式为y=kx+b∵经过B(3,0)，C（0，3）∴CB解析式为：y=－x+3设E1A解析式为：y=－x+b∵E1A过点A（1，0）∴b=1∴E1A的解析式为y=－x+1∵y=－2x∴x=－1,y=2∴E1点坐标为（－1，2）第4页共46页－14－3ABC过点B作BE3∥AC，则可求E3坐标为：E3（9，－18）2、（2011年北京四中五模）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）求出二次函数的解析式.解：（1）A、B、C三点的坐标为A（－1，0），B(4，0)，C(0，－3)（2分）（2）设解析式为：y＝a（x＋1）（x－4）（3分）∴－3＝a（0＋1）（0－4）a＝43（5分）∴y＝3x49x432－－（6分）3、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)（本题10分）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为y＝xx620005.010=2000094032xx（1≤x≤110，且x为整数）（不写取值范围不扣分）……….（3分）（2）由题意得：2000094032xx-10×2000-340x=22500解方程得：1x=502x=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。..........（6分）第5页共46页（2）设最大利润为W，由题意得W=2000094032xx-10×2000-340x23(100)30000x………（8分）当100时，30000W最大100天＜110天存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．……..（10分）4、（2011北京四中模拟6）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？答案解：（1）设所求函数的解析式为2axy．由题意，得函数图象经过点B（3，-5），∴-5=9a．∴95a．∴所求的二次函数的解析式为295xy．x的取值范围是33x．（2）当车宽8.2米时，此时CN为4.1米，对应454998.94.1952y，EN长为4549，车高45451米，∵45454549，∴农用货车能够通过此隧道.5．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出500千克；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：(1)当销售单价定为每千克65元时，计算月销售量和月销售利润；(2)销售单价定为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）(3)月销售利润能达到10000元吗？请说明你的理由．答案：（1）销量500－1015065＝350（千克）；利润（65－40）×350＝8750（元）答：月销售量为400千克，月销售利润为8750元（2）y=[500-(x-50)10](x-40)=(1000-10x)(x-40)=-102x+1400x-40000（3）不能．由（2）知，y=-102)70(x+9000当销售价单价x＝70时，月销售量利润OxyABC第6页共46页最大为9000元.6．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）一家计算机专买店A型计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按每只19元的价格购买．但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出专买店当一次销售x（x＞10）只时，所获利润y元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲买了46只，乙买了50只，店主却发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到多少？答案：（1）设一次购买x只，则20－0.1(10)x16，解得50x．∴一次至少买50只，才能以最低价购买．（2）当1050x≤时，2[200.1(10)12]0.19yxxxx当50x时，(2016)4yxx．（3）220.190.1(45)202.5yxxx．①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当46x时，y1=202.4，当50x时，y2=200．y1＞y2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只嫌的钱多的现象．当45x时，最低售价为200.1(4510)16.5（元）．∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只16元至少提高到16.5元.7、（2011年浙江省杭州市模拟）如图，抛物线nmxxy221与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，第7页共46页并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。答案：解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，又D（5，2），∴C（0，2），OC=2.……………………………分∴2552122nmn解得225nm∴抛物线的解析式为：225212xxy……2分（2）点E落在抛物线上.理由如下：由y=0，得0225212xx.解得x1=1，x2=4.∴A（4，0），B（1，0）.………………………………4分∴OA=4，OB=1.由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.…………………………………………………5分把x=3代入225212xxy，得123253212y，∴点E在抛物线上.……………………………………………………………6分（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.S梯形BCGF=5，S梯形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，…8分下面分两种情形：①当S1∶S2=1∶3时，52)35(411S，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF=3－a，由△EPF∽△EQG，得31EGEFQGPF，则QG=9－3a，第8页共46页∴CQ=3－(9－3a)=3a－6由S1=2，得22)163(21aa，解得49a；…………………10分②当S1∶S2=3∶1时，56)35(431S此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF=a－3，由△EPF∽△EQG，得QG=3a－9，∴CQ=3+（3a－9）=3a－6，由S1=6，得62)163(21aa，解得413a.综上所述：所求点P的坐标为（49，0）或（413，0）………12分法