北京市2017年春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={﹣1,1},B={1,﹣1,3},那么A∩B=等于()A.{﹣1}B.{1}C.{﹣1,1}D.{1,﹣1,3}2.已知向量,那么等于()A.B.C.D.3.已知向量,,且,那么x的值是()A.﹣3B.3C.D.4.某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为()A.120B.40C.30D.205.已知点A(2,m),B(3,3),直线AB的斜率为1,那么m的值为()A.1B.2C.3D.46.直线x+2y﹣4=0与直线2x﹣y+2=0的交点坐标是()A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2)7.已知向量满足,,且与夹角为30°,那么等于()A.1B.C.3D.8.在△ABC中,a=2,c=1,∠B=60°,那么b等于()A.B.C.1D.9.如果直线l1:2x﹣y﹣1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么a等于()A.﹣2B.﹣1C.1D.210.当x∈[0,2π]时,函数y=sinx的图象与直线的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.311.已知f(x)=log3x,f(a)>f(2),那么a的取值范围是()A.{a|a>2}B.{a|1<a<2}C.D.12.不等式组,表示的平面区域是()A.B.C.D.13.等于()A.B.C.D.14.给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面.其中正确的命题是()A.①B.②C.③D.④15.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律,那么甲同学被选中的概率为()A.1B.C.D.16.如果a+b=1,那么ab的最大值是()A.B.C.D.117.等于()A.B.C.D.18.已知函数.关于f(x)的性质,给出下面四个判断:①f(x)的定义域是R;②f(x)的值域是R;③f(x)是减函数;④f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的判断是()A.①B.②C.③D.④19.如果圆C:(x﹣a)2+(y﹣3)2=5的一条切线的方程为y=2x,那么a的值为()A.4或1B.﹣1或4C.1或﹣4D.﹣1或﹣420.中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为,到二○二○年全面建成小康社会,是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求:经济保持中高速增长,在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上,到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收入比二0一0年翻一番,产业迈向中高端水平,消费对经济增长贡献明显加大,户籍人口城镇化率加快提高.设从二0一一年起,城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到二0二0年城乡居民人均收入比二0一0年翻一番”列出的关于p的四个关系式:①(1+p%)×10=2;②(1+p%)10=2;③lg(1+p%)=2;④1+10×p%=2.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④21.甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示.v1,v2分别表示甲、乙二人的平均得分,s1,s2分别表示甲、乙二人得分的方差,那么v1和v2,s1和s2的大小关系是()A.v1>v2,s1>s2B.v1<v2,s1>s2C.v1>v2,s1<s2D.v1<v2,s1<s222.已知直线m,n,l,平面α,β.给出下面四个命题:()①;②;③;④.其中正确是()A.①B.②C.③D.④23.如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<3},那么ba等于()A.﹣81B.81C.﹣64D.6424.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.四棱柱25.“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》,通过计算得到的答案是()A.2B.3C.4D.5二、解答题(共5小题,满分25分)26.(5分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点M和N分别是B1C1和BC的中点.(1)求证:MB∥平面AC1N;(2)求证:AC⊥MB.27.(5分)已知函数,其中ω>0,x∈R.(1)f(0)=;(2)如果函数f(x)的最小正周期为π,当时,求f(x)的最大值.28.(5分)已知数列{an},.(1)判断数列{an}是否为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.29.(5分)已知点P(﹣2,2)在圆O:x2+y2=r2(r>0)上,直线l与圆O交于A,B两点.(1)r=;(2)如果△PAB为等腰三角形,底边,求直线l的方程.30.(5分)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae﹣kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.(1)a=;(2)求k的值;(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={﹣1,1},B={1,﹣1,3},那么A∩B=等于()A.{﹣1}B.{1}C.{﹣1,1}D.{1,﹣1,3}【考点】交集及其运算.【分析】根据交集的定义写出A∩B即可.【解答】解:集合A={﹣1,1},B={1,﹣1,3},那么A∩B={﹣1,1}.故选:C.【点评】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题目.2.已知向量,那么等于()A.B.C.D.【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义.【分析】利用向量运算法则求解.【解答】解:==.故选:C.【点评】本题考查向量的运算,是基础题,解题时要认真审题,注意向量运算法则的合理运用.3.已知向量,,且,那么x的值是()A.﹣3B.3C.D.【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】利用向量垂直的性质直接求解.【解答】解:∵向量,,且,∴=3﹣x=0,解得x=3.故选:B.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运用.4.某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为()A.120B.40C.30D.20【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论.【解答】解:∵一年级学生400人,∴抽取一个容量为200的样本,用分层抽样法抽取的一年级学生人数为,解得n=40,即一年级学生人数应为40人,故选:B.【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.5.已知点A(2,m),B(3,3),直线AB的斜率为1,那么m的值为()A.1B.2C.3D.4【考点】直线的斜率.【分析】利用直线的斜率公式可得=1,解方程求得m的值.【解答】解:由于A(2,m),B(3,3),直线AB的斜率为1,∴=1,∴m=2,故选:B.【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题.6.直线x+2y﹣4=0与直线2x﹣y+2=0的交点坐标是()A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2)【考点】两条直线的交点坐标.【分析】将二直线的方程联立解出即可.【解答】解:联立,解得x=0,y=2,直∴线x+2y﹣4=0与直线2x﹣y+2=0的交点坐标是(0,2).故选:C.【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键.7.已知向量满足,,且与夹角为30°,那么等于()A.1B.C.3D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用已知条件,通过向量的数量积公式求解即可.【解答】解:向量满足,,且与夹角为30°,那么=||||cos=2=3.故选:C.【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,考查计算能力.8.在△ABC中,a=2,c=1,∠B=60°,那么b等于()A.B.C.1D.【考点】余弦定理.【分析】由题意和余弦定理列出式子求出b的值.【解答】解:因为在△ABC中,a=2,c=1,∠B=60°,所以由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB=4+1﹣=3,解得b=,故选B.【点评】本题考查了余弦定理的简单应用,属于基础题.9.如果直线l1:2x﹣y﹣1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么a等于()A.﹣2B.﹣1C.1D.2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】直接由两直线平行的条件列式求解a的值.【解答】解:∵直线l1:2x﹣y﹣1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,∴a+1=﹣1,解得a=﹣2.故选:A.【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件,是基础题.10.当x∈[0,2π]时,函数y=sinx的图象与直线的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.3【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】根据曲线与方程之间的关系,直接作图即可得到结论.【解答】解:由y=sinx与y=,如图:两条曲线的图象的交点个数为2个.方程有2个解.故选:C.【点评】本题主要考查函数交点个数的判断,利用函数和方程之间的关系,直接进行求解即可,比较基础.11.已知f(x)=log3x,f(a)>f(2),那么a的取值范围是()A.{a|a>2}B.{a|1<a<2}C.D.【考点】对数函数的单调性与特殊点.【分析】由题意,f(x)=log3x,函数单调递增,即可得出结论.【解答】解:由题意,f(x)=log3x,函数单调递增,∵f(a)>f(2),∴a>2,故选A.【点评】本题考查对数函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础.12.不等式组,表示的平面区域是()A.B.C.D.【考点】简单线性规划;二元一次不等式(组)与平面区域.【分析】利用直线确定边界,特殊点判断区域,求解即可.【解答】解:在判吗直角坐标系中,画出直线x=1,x+y﹣3=0,x﹣y﹣3=0,判断(2,0)满足不等式组,所以不等式组不是的可行域为:故选:D.【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定,一般是找特殊点代入进行检验,属于基础试题.13.等于()A.B.C.D.【考点】二倍角的正弦.【分析】利用二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解.【解答】解:=sin==.故选:B.【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.14.给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面.其中正确的命题是()A.①B.②C.③D.④【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①,三个不共线的点确定一个平面,故错;②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错;③,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错;④,两条平行直线确定一个平面,正确.【解答】解:对于①,三个不共线的点确定一个平面,故错;对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错;对于③,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错;对于④,两条平行直线确定