3.3北师大版九年级数学下册课件第三章圆第三节垂径定理

2015.013.3垂径定理九年级数学(下)第三章圆2015.011.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.2.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.知识回顾4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3.顶点在圆心的角叫做圆心角.2015.01③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理2015.01已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。求证：AM=BM,AC︵=BC︵,AD︵=BD︵∴AB︵=BC︵证明：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM,∠AOC=∠BOC∵∠AOD=180°－∠AOC,∠BOD=180°－∠BOC∴∠AOD=∠BOD垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧●OABCDM└∴AD︵=BD︵∴AM=BM,AB︵=BC︵,AD︵=BD︵2015.01③AM=BM由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OABCDM└垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。∵CD是直径，CD⊥AB,AB是弦∴AM=BM，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒2015.01②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒2015.01垂径定理的应用例1:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC..m)90R(OF,Rm则设弯路的半径为,CDOE).m(30060021CD21CF得根据勾股定理,即,OFCFOC222.90R300R222.545R,得解这个方程.m545这段弯路的半径约为●OCDEF2015.01讨论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧●OABCDM└2015.01命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧∵AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，∴CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧∵CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）∴CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OAEBDC2015.01垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理记忆.OAEBDC2015.01●OABCDM└弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高，如图线段CM是弓高圆心到弦的距离,叫弦心距。如图线段OM是O到弦AB的弦心距。2015.01赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).2015.01赵州石拱桥解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设ABABABAB,2.7CD,4.37ABAB21AD,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,ODADOA222.)2.7R(7.18R222即解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.37.47.2OABCRDABOC2015.01●OABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?EF└└MN还有其他情况吗？●OABCDCD2015.01“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如下图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，2015.01如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到AB的距离及∠OAB的余弦值。C2015.01如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？•ABCD理由：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD解：AC=BDO┐E2015.01如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●MAB2015.01判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√挑战自我2015.01（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧(）（7）平分弦的直线，必定过圆心（）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦（）ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)2015.01（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径（）（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦（）（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分（）ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E2015.01这节课有何收获？！2015.01再见