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第三章线性系统的时域分析法3.1系统时间响应的性能指标3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时域分析3.5线性系统的稳定性分析3.6线性系统的稳态误差计算3.7控制系统的时域设计3.1系统时间响应的性能指标分析控制系统的步骤：第一步建立模型第二步分析控制性能多种分析方法:时域分析法，频域分析法，根轨迹法...。)]([)(1sCLtc-=()()()CssRs=Φ时域分析分析性能典型输入信号系统输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号的形式有关。系统对典型试验信号的响应特性与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，可采用典型输入信号来评价系统性能。常用的典型输入信号有:•阶跃函数Step•斜坡函数Ramp•抛物线函数•脉冲函数和正弦函数⎩⎨⎧≥=000)(ttAtrStLSR1))(1()(==一、阶跃函数A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数A为常量。当A=1时,称为单位斜坡函数,其拉氏变换为：二、斜坡函数Ramp如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。它等于单位阶跃函数对时间的积分。⎩⎨⎧≥=000)(ttAttr21)()(StLSR==当A=1时，称为单位抛物线函数。其拉氏变换为：三、抛物线函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=00021)(2ttAttr321)21()(StLSR==1、脉冲函数定义四、脉冲函数令e®0,则称为单位脉冲函数(单位冲激函数),记为d（t）时间响应的性能指标•系统时间响应c(t)的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性称为动态性能。•动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线去定义tptrtst0)(∞c)(ptc)(tc2()cΔ∞误差带0.5()c∞dtt→∞稳态误差（）动态稳态动态过程：系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程稳态过程：当时间趋于无穷时，系统输出量的表现方式动态性能指标•1、延迟时间td•响应曲线第一次达到终值一般所需的时间；•2、上升时间tr•阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间为上升时间；•若阶跃响应曲线不超过稳态值（成为过阻尼系统），则定义阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间为上升时间•3、峰值时间tp•阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间动态性能指标•4、最大超调量•5、过渡过程时间ts•阶跃响应曲线进入并保持在允许误差范围所对应的时间称为过渡过程时间或称调整时间。•6、振荡次数N•在0tts内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半成为振荡次数。ps()()100%()ppctccs-∞=×∞稳态性能指标•稳态误差：时间趋于无穷时，系统输出量的实际值与期望值之差。tptrtst0)(∞c)(ptc)(tc2()cΔ∞误差带0.5()c∞dtt→∞稳态误差（）时间响应的性能指标tptrtst0)(∞c)(ptc)(tc2()cΔ∞误差带0.5()c∞dtt→∞稳态误差（）延迟时间上升时间峰值时间最大超调（量）过渡过程时间振荡次数rtptpsstN评价响应速度——快速性评价阻尼程度——平稳性动态性能指标：稳态性能指标：稳态误差——准确性dt控制系统时域分析3.2一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。一阶系统的数学模型为11)()(+=TssRsC•常见的温度控制系统和液位控制系统中的控制对象都属于一阶系统+r(t)c(t)+电路图RC先求出输出c(t)，分析输出曲线，引入性能指标（动态、稳态）*分析固有特性时，可假设初始条件为零时来分析11)()()(+==ΦTssRsCs1单位阶跃响应1T432%4()|0.9825%3()|0.95:stTstTtTcttTctT==Δ===Δ===惯性时间常数1)(=trssR/1)(=11111)()()(+-=•+=Φ=TsTssTssRssC)0(1)()()(≥-=+=-tetctctcTtts稳态分量瞬态分量11211122()sin()[sin()sin()sin()]tmtmttmmmkekktkteketektkttkttssssΦ+Φ++Φ+++ΦLLss3-1-1极点与运动模态极点运动模态实数单极点M重实数极点一对复数极点M重复数极点根据拉氏反变换的部分分式法可知，有理分式C(S)的每一个极点（分母多项式的根）都对应于c(t)中的一个时间响应项，称为运动模态.C(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应项（运动模态）的线性组合。的极点对应的时间响应分量称为瞬（暂）态分量R(s)的极点对应的时间响应分量称为稳态分量.()sΦ零极点与运动模态的关系•系统输出信号拉氏变换的极点是由传递函数的极点和输入信号拉氏变换的极点组成。•通常把传递函数极点所对应的运动模态称为系统的自由运动模态或振型。系统自由运动模态与输入信号无关，也与输出信号的选择无关。•传递函数的零点不形成运动模态，但却影响各模态在响应中所占的比重，因而，也影响时间响应及其曲线形状。2一阶系统的单位脉冲响应R(s)＝11()()1cssTs=Φ=+斜率21T)(tcT1tT2TT1368.0T3TteTtc-=1)(011()()[()](0)tTgtctLsetT--⇒==Φ=≥单位脉冲响应•在零初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数d（t）时，系统的输出信号称为系统的单位脉冲响应（单位冲激响应）。•单位冲激响应就是系统传递函数G(S)的反拉氏变换g(t)单位冲激响应也是系统的数学模型()()()r(t)(t)C(S)(S)1(S)c(t)g(t)CSGSRSGd===•=Φ⇒=Q当时3一阶系统的单位斜坡响应22221()()111()11rttRssTTCsTssssTs=⇒==•=--++Cs=t-T是稳态分量，也是斜坡函数,与输入信号斜率相同，时间滞后一个时间常数T。Ct按指数规律衰减到零，衰减速度由极点决定TTTt)(tc0ttr=)()(tc()(0)()()()(1)lim()tTtTsstcttTTetetrtctTeeetT--→∞⇒=-+≥⇒=-=-==部分分式展开法中的各项系数()()()()122()()()()...nnnNsNsCsDsssasbCCCABssasbsbsb==++=+++++++++0()sAsCs==•()()saBsaCs=-=+•()()1()()!ninisbCsbCsni-=-⎡⎤=+•⎣⎦-4一阶系统的单位加速度响应上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。231()211()1rttCsTss==•+223211TTTssssT=-+-+22221()(0)2()()()(1)tTtTcttTtTTetetrtctTtTe--⇒=-+-≥⇒=-=--表1:一阶系统对典型输入信号的响应•系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数•系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。输出响应输入信号)(1t0,1≥-teTTt0,1≥--teTt0,≥+--tTeTtTt0,22221≥-+--teTTTttTt)(tdt221t3.3二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。1.二阶系统的数学模型2222)(nnnssswzww++=Φ)2(2nnsszww+-+)(sR)(sC:nw无阻尼自振角频率:z阻尼比，传递函数的特点：分子为常数（无零点）(1)ksTs+-+)(sR)(sC)2(2nnsszww+-+)(sR)(sC2222()21,2nnnnksssTsskkTkTwzΦ==++++==其中下图两个单位反馈闭环系统均为二阶系统的典型形式2222221,2()2201(1)nnnnnnnssssssjwzwwzwwzwwzzΦ=++++==-±-≤由可得二阶系统特征方程可得系统两特征根为随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根（极点）也不同0=z10z1=z1z0z无阻尼过阻尼临界阻尼发散欠阻尼swjnjsw±=2,121,21nnsjzwwz=-±-nszw-=2,1122,1-±-=zwzwnnsswjswjswj阻尼比闭环极点•分析当取不同值时的响应及性能指标针对不同的典型输入信号求出二阶系统的时域响应C(t)。221,),(1),()(tttttrd=z2二阶系统的单位阶跃响应2222)()(nnnsssRsCwzww++=22222()1()1()2212......nnnnnnrttCsssssssswzwwzwzww==•+++=-++=(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应01z2222()1(cos1sin1)111sin()(0)1nntnntdctettettzwzwzzwzwzwbz--=--+--=-+≥-222221()2212nnnnnnCsssssssswzwwzwzww=•+++=-++称为有阻尼自振角频率21dnwwz=-其中，22221()()nndnddndsssszwzwwz=--++++稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为包络线211ntexwx-±-----决定收敛速度21zww-=nd21()1sin()(0)1ntdctettzwwbz-=-+≥-临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，响应过程单调上升，与过阻尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的(2)临界阻尼()1z=)1(1)(tetcntnww+-=-1=znnnnnssssssC=+=1)(1)()(222(3)过阻尼()1zsssssssscssnn1))(()()1()1(21212221--=---=-+-=wzzwzz（4）z=0（零阻尼）ttcnwzcos1)(0-==可得当！！！！！！系统处于无阻尼振荡状态，暂态响应为恒定振幅的周期函数，频率为wn(也称为无阻尼自然振荡角频率)。反之亦然。给出系统以wn做等幅震荡，则可以断定，必有共轭虚根。对高阶系统也成立。此时系统处于临界稳定状态。10z)1sin11(cos1)(222ttetcnntnwzzzwzzw--+--=-1z0≥t0=zttcnwcos1)(-=0≥t0z不稳定1=z)1(1)(tetcntnww+-=-0≥tswj单位阶跃响应1)(tct1)(tct1)(tct1)(tct闭环极点swjswjswj响应ζ取不同值（ζ〉0）时二阶系统的位阶跃响应的曲线二阶欠阻尼单位阶跃响应性能指标)0)(sin(111)sin1(cos1)(22≥+--=-+-=--ttettetcdtrdrdtnnbwzwzzwzwzwtptrtst0)(∞c)(ptc)(tc2()cΔ∞误差带0.5()c∞dtt→∞稳态误差（）二阶欠阻尼系统的极点位置与响应22()1(cossin)111sin()(0)1nntddtdctettettzwzwzwwzwbz--=-+-=-+≥-swj1s2sbnzw-nw21dnwwz=-coszb=采用曲线拟合法a.延迟时间()0.5rct=令222sin(1arccos)1ln1ndndttzwzwzz-+=-210.60.2dntzzw++=()10.701dntzzw+≈c.峰值时间:0)(=dttdc21zwp-=nptb.上升时间1)(=rtc令zzzbzwbp1212cos11--=-=--=tgtnr其中d.最大超调量%100%100)()()(21×=×∞∞-=--zpzsecctcppe.调整时间()()()ctcc-∞≤Δ⋅∞stt≥%)5(3%)2(4=Δ==Δ=nsnsttzwzw法一：法二：包罗曲线法2111ntezwz-+-=+Δ