9zdx-三角形的证明(培优)

高效学习全人发展1三角形的证明(培优)出题人：张丹霞姓名：题型一全等三角形例1.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是；（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图③中，连接BO、AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明.变式1:如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．高效学习全人发展2变式2:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)求证：DC⊥BE．变式3:在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．高效学习全人发展3题型二等腰三角形的性质例2.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.变式1:如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=21BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．高效学习全人发展4变式2:已知：如图①，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．高效学习全人发展5题型三等腰三角形的判定例3.如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.（1）求证：CE=CF；（2）将图①中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图②所示，试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.变式1:已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．变式2:如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=21x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C)4,4(画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．（1）求直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．高效学习全人发展6题型四等边三角形例4.(1)如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；(2)如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．变式1:如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=，猜想∠QFC=；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=32，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式.高效学习全人发展7题型五直角三角形例5.已知RtABC中，o90ACB，ACBC，o45MCN.(1)如图○1，当M、N在AB上时，求证：222MNAMBN；(2)如图○2，将MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.变式1:如图，在RtABC中，o90A，D为斜边BC的中点，DEDF，求证：222EFBECF.变式2:如图，在RtABC中，o90ACB，CDAB于D，设ACb，BCa，ABc，CDh.求证：(1)222111abh；(2)abch；(3)以ab、h、ch为边的三角形是直角三角形.ABCMNABCNMABCDEFABCD