12-1微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念第十二章二、基本概念一、问题的提出一、问题的提出例1.)!3(03的和函数求nnnx,)!3()(03nnnxxss),(x)!3(!9!6!313963nxxxxn)!13(!8!5!213852nxxxxsn)!23(!7!4!12374nxxxxsn解sssxe?s.0)0(,1)0(ss例2使试确定连续已知)(.)(,1)(xxyxxxyxxLd)(d)]([sin.与路径无关解PQ依题设，知xQyP)(1)]([sinxxxx即得1)(,sin)(1)(xxxxx?)(x曲线积分次的与纵坐标为底的曲边梯形的面积为曲边，以若以连续曲线1],0[)0)()((nyxtftfy例3x)(tfy)(xf解10)]([d)(nxxfkttf)()]()[1()(xfxfnkxfntyo,1)()]()[1(1xfxfnkn?)(xf.1)1(,0)0(ff.,1)1(,0)0(方程求此曲线幂成正比，且已知ff1.微分方程:二、基本概念含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.常微分方程的一般形式：)5.12(0)dd,,dd,,(nnxyxyyxF如：,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yzxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.常微分方程偏微分方程222yuatu2.微分方程的阶:,0),,(yyxF一阶微分方程),(yxfy高阶(n≥2)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy显式方程隐式方程微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之..)5.12()5.12(则，称它为非线性方程为线性方程；否一次有理整式，则称及其各阶导数的为式的左端若yF3.线性与非线性微分方程:);()(xQyxPy如：;02)(2xyyyx(关于y线性)(非线性),0d)4(d22yyxxy,42dd2yxyxy变形(关于y非线性)yyxyx24dd2(关于x线性)4.微分方程的解若阶导数上有在区间设,)(nIxy)(,0))(,),(),(,()(IxxxxxFn为方程则称)()(Ixxy由方程：的解若方程)()5.12(xy0),(yx所确定，则称.)5.12(0),(式的隐式解为yx)5.12(0)dd,,dd,,(nnxyxyyxF的解；5.微分方程的解的分类(1)通解:中含的解阶微分方程若),,,;()5.12(21ncccxynn个相互独立的任意常数c1,即,,,2ncc),,,(),,,(21)1(nncccJ0)1(2)1(1)1(2121nnnnnnccccccccc.)5.12(的通解则称此解为通俗地说，微分方程的通解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任何关系.(2)特解:不含有任意常数的解.,yy如：;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解思考通解是否一定包含了此方程的所有解？不一定.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定n阶微分方程,dd2yxy对于如：是其通解，可以验证：cxy1.0y但不包含特解：)5.12(0)dd,,dd,,(nnxyxyyxF特解的条件：.)(,,)(,)()1(00)1(0000nnyxyyxyyxyOxy过定点的积分曲线;00)(),(yxyyxfy一阶:二阶:0000)(,)(),,(yxyyxyyyxfy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.6.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.0),,,,()(nyyyxFn阶：)6.12()(,,)(,)()1(00)1(0000nnyxyyxyyxy例8求以双参数函数族xxeCeCy421为通解的微分方程(C1,C2为任意常数).解xxeCeCy4214xxeCeCy42116212121),(),(CyCyCyCyCCDyyDJxxxxeeee444035xe(1)两个任意常数C1,C2相互独立故所求方程必是一个二阶微分方程xxeCeCy421xxeCeCy4214由解得)(31),4(31421yyeCyyeCxx代入(1)式,整理得.045yyy的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)在§2—§4中,将讨论方程),(yxfy微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线.内容小结