高考数学二项式定理专题复习(专题训练)

1二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100NnbaCbaCbaCbaCbannnnnnnnnnn.2.二项式定理的说明：（1）()nab的二项展开式是严格按照a的降次幂（指数从n逐项减到0）、b的升次幂（数从0逐项减到n）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a、b的指数之和等于n。所以()nab与()nba的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有(1)n项，是关于a与b的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1rnC，1,...,3,2,1nr.（5）二项式通项：展开式中的第r项记作rT，）（1,...,3,2,1111nrbaCTrrnrnr，共有(1)n项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。如：nnrrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba）（）（）（）（）（----nr2221110的第2项的二次项系数为1nC，而第2项的系数为1nC.（7）常见二项式：令1,,abx)*()1(111100NnxCxCxCxCxnnnnnnnnn；令1,,abx)*()1()1(221100NnxCxCxCxCxnnnnnnnn.3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即knnknnnnnnnCCCCCC,,,110.（2）二项式系数和：令1ab，则二项式系数的和为：nnnnnnnCCCC2110，变形有：12321nnnnnnCCCC.（3）15314202nnnnnnnCCCCCC；（4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知nnnxaxaxaxaaxa22332102...)(2，则2奇数项的系数和：naaaa2420...=_______________________________；偶数项的系数和：12531...naaaa=_______________________________；0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n是偶数时，则中间项为第）（12n项的二项式系数2nnC取得最大值；如果二项式的指数n是奇数时，则中间项有两项，分别为第21n项和第23n项，对应的二项式系数12nnC，12nnC同时取得最大值。22212nnnnnbaCT，1-2121-221nnnnnbaCT，121-21223nnnnnbaCT.（6）系数的最大、最小项的求法：求()nabx展开式中最大、最小项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有：rrAA1且21rrAA；如果设第1r项系数最小，应有211rrrrAAAA且，从而解出r的范围。4.怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为：，其系数为.ncba)(rqpcba,,,Nrqpnrqpnncbacba])[()(rCrrnrnCbaC)(rnba)(qbqpqrnqqrnqrnbaCbaCncba)(rqpcbarqpqrnrncbaCCrrqpnpnqrnrnCCCpqrnqrnqrnrnrnCC!!!!)!(!)!()!(!!35.近似计算的处理方法：当a的绝对值很小（趋近于0）且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分nnnnnnnnaCaCaCaC113322很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.二项式定理常考题型题型一：二项式定理的逆用题型二：求二项展开式的特定项（1）求单个二项式指定幂的系数（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（3）利用通项公式求常数项（4）求有理项（5）求中间项题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项（1）一般的系数最大或最小问题（2）特殊的系数最大或最小问题（3）系数绝对值最大的项（4）二项式系数最大的项题型四：赋值法求值题型五：整除性题型六：证明不等式题型七：利用二项式定理求近似值例1.已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于_________例2.二项式（3x+32）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（）A.6B.7C.8D.9例3.若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx的展开式中系数最大的项。naan1)1(naan1)1(22)1(1)1(xnnnxxn4例4.已知等式x4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为______________例5.若n是正整数，则122117777nnnnnnnCCC除以9的余数是________例6.证明：（1）Nnnnn,322（2）当Nn且n1，求证：3)11(2nn例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元变式训练：1.设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s，若272ps，则n等于______________2.在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）2007的展开式中，x3的系数等于_____________3.把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则2312lim2nnna等于______________4.（2016浦东新区一模）二项式nxx)21(的展开式前三项系数成等差数列，则_____5.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________6.若5.在1x＋51x3n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是______7.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________n12nxx58.x＋2x2n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于________9.已知0a，若26(1)(1)xax的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x项的系数为___________10.(2011上海十三校二模)在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________11.（2015闸北区二模）若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________12.（2010辽宁）261(1)()xxxx的展开式中的常数项为_________13.（2000北京）求的展开式中有理项共有________项。14.（2015全国）的展开式中，的系数为__________15.（2x-1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为_______________16.(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A.a＝2，b＝－1，n＝5B.a＝－2，b＝－1，n＝6C.a＝－1，b＝2，n＝6D.a＝1，b＝2，n＝517.已知，则的值是__________18.多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为_________19.若多项式1010221010)1(...)1()1()2(xaxaxaax，则820...aaa的值为（）A.509B.510C.511D.102220.设10992210101022101020)1()1()21(xxbxbxbbxaxaxaaxx，则9a________1nxx103)1(xx25()xxy52xy621.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：（1）a1＋a2＋…＋a7；（2）a1＋a3＋a5＋a7；（3）a0＋a2＋a4＋a6；（4）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.21.0101102103107108109101098732CCCCCCCS_____________22.(2012湖北)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝_______23.数10101031032102110909090901CCCC除以88的余数是_________24.求6998.2的近似值（精确到小数后第三位）。