高中数学经典易错题会诊与试题预测05

第1页高中数学经典易错题会诊与试题预测(五)考点5三角函数经典易错题会诊命题角度1三角函数的图象和性质命题角度2三角函数的恒等变形命题角度3三角函数的综合应用探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质预测角度2运用三角恒等变形求值预测角度3向量与三角函数的综合命题角度1三角函数的图象和性质1．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是.[考场错解]填[0，3]∵f(x)=]2,(,sin],0[,sin3xxxx∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k有交点，∴k∈[0，3]．[专家把脉]上面解答求出k的范围只能保证y=f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解．[对症下药]填(1，3)∵f(x)]2,(,sin],0(,sin3xxxx作出其图像如图从图5-1中可看出：当1k3时，直线y=k与yf(x)有两个交点．2．(典型例题)要得到函数y=2cosx的图像，只需将函数y=2sin(2x+4)的图像上所有的点的()A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度B．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8个单位长度第2页[考场错解]B或D∵将函数y=2sin(2x+4)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得函数y=2sin(x+4)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2)=2cosx的图像．故选B．将函数y=2sin(2x+4)变形为y=2sin2(x+4)．若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8)的图像．再向右平行移动8个单位长度后得y=2cosx的图像，选D．[专家把脉]选B有两处错误，一是若将函数yf(x)=2sin(2x+4)横坐标缩短到原来的21倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)=sin(4x+4)，而不是f(x)=2sin(x+4)，二是将函数y=f(x)=2sin(x+4)向右平行移动4得函数y=f(x)=2sinx的图像，而不是y=f(x)=2cosx的图像．因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x变为x-4选D同样是两处错误．一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4)而不是y=2sin(x+4)．由y=2sin(x+8)的图像向右平移81个单位长度得了y=2sinx的图像，而不是y=2cosx的图像．[对症下药]选C将函数y=2sin(2x+4)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4+4)=2cosx的图像．故选C．3．(典型例题Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+)(-π0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8.(1)求；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像．[考场错解](1)∵x=8是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8+)=±1，∴4+=kπ+2kZ．∴=kπ+4，∵-π0，∴=-43π．(2)由(1)知=43π，因此y=sin(2×-43π)．∵最小正周期为T=42=π.由题意得第3页kπ-2≤2x-43≤kπ+2，k∈Z．解得kπ+8≤x≤21kπ85+π，k∈Z．所以函数y=sin(2x-43)的单调查递增区间为.,8521,821Zkkk[专家把脉]以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令2,2432kkx处，因若把432x看成一个整体u，则y=sinu的周期为2π。故应令432x，.,22,22Zkkk解得的x范围才是原函数的递增区间.[对症下药]（1）解法1∵8x是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8+)=±1。∴.43,1,0,4,,24时kkZkk解法2∵x=8是y=f(x)图象的对称轴，∴对任意的x有f(x)=f(4-x).令x=0时，有f(0)=f(4).即sin=sin(2+)=cos.即tan=1.又.43).0,((2)由（1）得43,因此，).432sin(xy由题意得.,85,8)432sin(.,858.,2243222ZkkkxyZkkxkZkkxk的单调递增区间的函数解得（3）由)432sin(xy知x08838587πy22-101022故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是5.（典型例题）求函数xxxxy44coscossin32sin的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间.[考场错解]xxxxycossin32cossin44第4页.22).62sin(22sin32cos2sin3)cos)(sincos(sin2222Txxxxxxxx故该函数的最小正周期当6,.2262kxZkkx即时，函数y有最小值-2.当2,0x时，函数单调递增.∴函数递增区间是2,0.[专家把脉]上面解答错在求函数的递增区间上，∵当x∈[0，6]时，2x-6(-6,65π)函数不为单调函数．应先求出函数y=2sin(2x-6)在R上的单调递增区间，再求它与区间[0，π]的交集．[对症下药]∵函数y=sin4x+3sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6)．故该函数的最小正周期是π.当2x-6=2kπ-2时，即x=kπ-6时，y有最小值2．令2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2，k∈Z．解得kπ-6≤x≤kπ+6，k∈Z．令K=0时，-6≤x≤3．又∵0≤x≤π，∴0≤x≤3，K=1时，65π≤x≤43π又∵0≤x≤π.∴65π≤x≤π.∴函数y=2sin(2x-6)的递增区间是[0，3][65π，π]．专家会诊利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y=sinx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+6)，y=sin(6-2x)，y=logsin(2x+4))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+6，6-2x，2x+4,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y=Asin(ωx+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平专家会诊移．要注意顺序不同，平移单位也不同．一般地，y=Asib(ωx+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin[ω(x+a)+]的图象，再把其上所有点第5页的横坐标变为原来的w1，即得到y=Asin[ωw1+ωa+]的图像．考场思维训练1已知函数y=tan在(-2,2)内是减函数，则()A．0ω≤1B．-1≤ω0C.ω≥1D．ω≤-1答案：D解析∵函数y=tanωx在（-2,2）内是减函数，∴w0，又∵函数y=tan(-wx)在（ww2,2）上是增函数，∴有.122222函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为()A．4B.2C．πD．2π答案：C解析：∵f(x)=2|sin(x+4)|．∵y=sin(x+4)的最小正周期为2π，∴f(x)=2|sin(x+4)|的最小正周期为π.3当0x2时，函数f(x)=xxinxx2sin82cos12的最小值为()A.2B．23C．4D.43答案：C解析：∵f(x)=xxxxcossin2sin8cos222cotx+4tanx∵0x2，∴tanx0，cotx0，∴f(x)≥4tan4cotxx4化简f(x)=cos(xk2316+2x)+cos(316kπ-2x)+2)23sin(3x(x∈R，k∈Z)求函数f(x)的值域和最小正周期．答案：解析：∵f(x)=cos(2kπ+3+2x)+cos(2kπ-3-2x)+23sin(3+2x)=2cos(3+2x)+23sin(3+2x)=4sin(6+3+2x)=4sin(2+x)=4cos2x．∴f(x)的值域为[-4，4]；最小正周期为T：22=π.命题角度2三角函数的恒等变形1．(典型例题Ⅱ)设α为第四象限的角，若513sin3sin，则tan2α=.第6页[考场错解]填±43∵513cos22cossin2sincoscossinsin)2sin(sin3sin2∴.432tan54532cos2sin2tan.53)54(1212sin,542cos,582cos222cof[专家把脉]上面解答错在由cos2α=54得sin2α=±53时没有考虑角α是第四象限角．2α是第三、四象限角sin2α只能取负值．因而tan2α也只能为负值．[对症下药]填-sin2sincos2cossinsin)2sin(sin3sin43=cos2α+2cos2α=2cos2α+1=513∴cos2α=54．又∵α为第四象限角，即2kπ+23α2kπ+2π，k∈Z，∴4kπ+3π2α4kπ+4π，k∈Z即2α为第三、四象限角．∴sin2α=-.4354532cos2sin2tan.53)54(12cos222．(典型例题)已知-2x0，sinx+cosx=51，(1)求sinx-cosx的值；(2)求xxxxxcottan2cos2sin22sin322的值．[考场错解](1)由sinx+cosx=51，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=(51)2，即2sinxcosx=-2524.∵(sinx-cosx)2=1-2sinx·cosx=2549.又∵-2x0，∴sinx0，cosx0，sinx-cosx0．∴sinx-cosx=-57(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincoscossin1sincos1sincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin22sin322222=cosx·sinx(2+cosx-sinx)=.125204)572)(2512([专家把脉]以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误．即由xxxxxxsincoscossin1sin2sin22=sinxcosx(2-sinx第7页-cosx)变形时认为2sin2=1+cosx，用错了公式，因为2sin2=1-cosx．因此原式化简结果是错误的．[对症下药]解法1(1)由sinx+cosx=51，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=251即2sinxcosx=-2524．∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524.又∵-2x0，