高中数学联赛真题分类汇编―平面解析几何

高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第1页共36页高中数学联赛真题汇编——解析几何（1978T9）已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q(a，4a)，(a1)则直线PQ方程为y－4=4a－4a－6(x－6)，令y=0，得x=6－a－6a－1=5aa－1．∴S=12·5aa－1·4a=10a2a－1=10(a+1+1a－1)=10(a－1+1a－1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S取得最小值．即所求点为Q(2，8)．（1978二试3）设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x－3y=t，则此直线在x轴上的截距即为14t．分别以A、B、C的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x－3y的极大值为14，极小值为－18．（1979T3）设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．解：由已知c=b，故a=2c，a－c=10－5=5(2－1)=c(2－1)，∴c=5，a=10．所求椭圆方程为x210+y25=1．(1979T2)已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．解：设双曲线方程为x2－y2=λ，以(1，0)及(0，1)分别代入，得双曲线方程为x2B(-1,-6)C(-3,2)A(4,1)xOy高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第2页共36页－y2=1．(1979T9)已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程．解：两直线距离=101+22=25，圆心在直线x＋2y－2=0上．设圆方程为(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5，(3－2＋2b)2＋(1－b)2=5，1＋4b＋4b2＋1－2b＋b2=5，5b2＋2b－3=0，b=－1，b=35．∴所求圆方程为(x－4)2＋(y＋1)2=5；(x－45)2＋(y－35)2=5．(1982T10)已知：⑴半圆的直径AB长为2r；⑵半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a2r)；⑶半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件|MP||AM|=|NQ||AN|=1．求证：|AM|+|AN|=|AB|．证明：以AT中点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则由已知，M、N是半圆(x－a－r)2+y2=r2(y≥0)与抛物线y2=4ax的交点．消去y得：x2+2(a－r)x+2ra+a2=0．条件2ar2保证△0，于是此方程有两个不等实根x1，x2，即为M、N的横坐标．由韦达定理，知x1+x2=－(2a－2r)．∵|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NQ|=x2+a．∴|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r．证毕．又证：作MC⊥AB，ND⊥AB，垂足为C、D．则AN2=AD∙AB，AM2=AC∙AB，∴AN2－AM2=(AD－AC)AB=CD∙AB．∵AN2－AM2=(AN+AM)(AN－AM)=(AN+AM)(NQ－MP)=(AN+AM)∙CD．比较得，AN+AM=AB．PQTMNlABOxyCDyxOBAlNMTQP高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第3页共36页(1985T4)在下面四个图形中，已知有一个是方程与(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是()解：由y2=－mnx，若m、n均为正数，则此抛物线开口向左，且mx2+ny2=1表示椭圆，mn，|mn|1．此时抛物线与直线y=－x的交点横坐标应－1．故否定B、D．若m、n符号相反，则抛物线开口向右．且mx+ny2=0图形是双曲线，m0，n0，m=－n．故选A．（1986T7）在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．解：易得cosα=66.5=1213，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25．（1987T3）在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中()A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D．每条直线至多通过一个有理点解：若直线斜率为k，则当k=0时直线经过x轴上所有有理点．y=-x1yxOyxOD.C.B.A.OxyOxy(4,3)533yOx高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第4页共36页当k≠0时，直线方程为y=k(x－a)．若k为有理数，则当x为有理数时，y为无理数；若k为无理数，若此时直线经过一个有理点A(x1，y1)，对于直线上与A不重合的点B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a为无理数，故y1≠0，x2－a≠0，y2y1=x2－ax1－a=m，当y2为有理数时，m为有理数，当y2≠y1时，m≠1，此时x2=mx1+(1－m)a为无理数．即此直线上至多有一个有理点．选C．（1988T2）已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|1B．|k|≠1C．－1k1D．0|k|1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－10，选D．（1988二试3）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－1kn，∴kn+1=kn－1kn．此时knkn+1=kn2－1．∴kn1或kn－1．从而k11或k1－1．⑴当k11时，由于01k11，故k1k2=k1－1k10，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3∙…kmkm+10，且01k11k2…1km1，km+1=km－1kmkm－1k1=km－1－1km－1－1k1km－1－2k1…k1－mk1．由于k1－mk1随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－m0k1≤1，从而必存在一个m值m=m1≤m0，使km1－1≥1，而1km1=km1－1－1km1－10，此时km1·km1+10．高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第5页共36页即此时不存在这样的直线族．⑵当k1－1时，同样有－11k10，得k1k2=k1－1k10．若k2－1，又有k1k2k30，依此类推，知当km－1时，有k1k2k3∙…kmkm+10，且01k11k2…1km－1，km+1=km－1kmkm－1k1=km－1－1km－1－1k1km－1－2k1…k1－mk1．由于k1－mkm随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k1－m0k1≥－1，从而必存在一个m值，m=m1(m1≤m0)，使km1－1≤－1，而－1km1=km1－1km1－10，此时km1·km1+10．即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．（1989T8）已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．解：直线l方程为(x+10)－2y=0，解得交点为(2，6)．（1990T6）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的()解：4a2+1b2=1，由a2b2，故得1b214b2+1b2=5b2，1b5．4a2+1b2=15a21，a25．故选C．(2,-1)Oxy(2,1)(2,1)(5，0)yxO(2,1)yxOD.C.B.A.Oxy(5，0)(2,1)(2,-1)高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第6页共36页（1990T3）设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a．但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故选C．（1991T6）方程|x－y2|=1－|x|的图象为()解：∵|x－y2|=x－y2(x≥y2)，y2－x(xy2)．故此方程等价于x－y2=1－x，即y2=2x－1(x≥y2)，y2－x=1－x，即y2=1(0≤xy2)，y2－x=1+x，即y2=2x+1(x0)．故选D．(1992T1)对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)19911992(B)19921993(C)19911993(D)19931992解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴|AnBn|=1n－1n+1，于是|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=19921993，选B．(1992T2)已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲1-1-12(1,-1)(1,1)(12,-1)(12,1)1212-12-121212-111-111-111yxOyxOyxOyxOA.B.C.D.11O11xyEFDIMNF1F2POxy高中数学联赛真题分类汇编于洪伟解析几何第7页共36页线的方程是()(A)(x+1－y2)(y+1－x2)=0(B)(x1－y2)(y1－x2)=0(C)(x+1－y2)(y1－x2)=0(D)(x1－y2)(y+1－x2)=0解：(x1－y2)=0表示y轴右边的半圆，(y+1－x2)=0表示x轴下方的半圆，故选D．(1993T4)若直线x=π4被曲线C:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是()(A)π4(B)π3(C)π2(D)解：曲线C表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)为直径端点的圆．即以(α，α)及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点的圆．而x=π4与圆交于圆的直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C．（1993T14）设0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹．解：设l：y=k1(x－a)，m：y=k2(x－b)．于是l、m可写为(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0．∴交点满足y2=x，(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)+(y2－x)=0．此方程中xy项必为0，故得k1=－k2